Coronavirus dan Pendidikan Matematik – Koleksi Ditauliahkan Separa

Virus yang melanda kita memacu pembaharuan pendidikan yang pesat. terutamanya di peringkat pendidikan yang lebih tinggi. Mengenai topik ini, anda boleh menulis esei yang lebih panjang, pasti akan ada aliran disertasi kedoktoran mengenai metodologi pembelajaran jarak jauh. Dari sudut pandangan tertentu, ini adalah kembali kepada akar dan tabiat belajar sendiri yang dilupakan. Begitu juga, sebagai contoh, di sekolah menengah Kremenets (di Kremenets, sekarang di Ukraine, yang wujud pada 1805-31, ditanam sehingga 1914 dan mengalami zaman kegemilangannya pada 1922-1939). Pelajar belajar di sana sendiri - hanya selepas mereka belajar, guru datang dengan pembetulan, penjelasan akhir, bantuan di tempat yang sukar, dll. e. Apabila saya menjadi pelajar, mereka juga berkata bahawa kita harus menimba ilmu sendiri, iaitu hanya memesan dan menghantar kelas ke universiti. Tetapi ketika itu ia hanya teori...

Pada musim bunga tahun 2020, saya bukan seorang sahaja yang mendapati bahawa pelajaran (termasuk kuliah, latihan, dll.) boleh dijalankan dengan sangat berkesan dari jauh (Google Meet, Microsoft Teams, dll.), dengan kos kerja yang banyak di pihak guru dan hanya keinginan "mendapat pendidikan" sebaliknya; tetapi juga dengan sedikit keselesaan: Saya duduk di rumah, di kerusi saya, dan dalam kuliah tradisional, pelajar juga sering melakukan sesuatu yang lain. Kesan latihan sedemikian boleh menjadi lebih baik daripada sistem pelajaran kelas tradisional, sejak Zaman Pertengahan. Apa yang akan tinggal padanya apabila virus itu pergi ke neraka? Saya rasa… cukup banyak. Tetapi kita akan lihat.

Hari ini saya akan bercakap tentang set yang dipesan separa. Ianya mudah. Oleh kerana hubungan binari dalam set tidak kosong X dipanggil hubungan tertib separa apabila wujud

(Tadeusz Kotarbinski, 1886-1981, ahli falsafah,

Presiden Akademi Sains Poland pada 1957–1962).

1. Reflektif, iaitu untuk setiap ∈ terdapat ",
2. Orang yang lewat, i.e. jika ", dan ", kemudian ",
3. Semi-asimetri, iaitu («∧«)→ =

Rentetan ialah set dengan sifat berikut: untuk mana-mana dua elemen, set ini sama ada "atau y". Antichain ialah...

Berhenti, berhenti! Adakah semua ini boleh difahami? Sudah tentu ia adalah. Tetapi adakah mana-mana Pembaca (mengetahui sebaliknya) sudah memahami apa yang ada di sini?

Saya tidak fikir! Dan ini adalah kanun mengajar matematik. Juga di sekolah. Pertama, definisi yang baik dan ketat, dan kemudian, mereka yang tidak tertidur kerana kebosanan pasti akan memahami sesuatu. Kaedah ini telah dikenakan oleh guru-guru matematik yang "hebat". Dia mesti berhati-hati dan tegas. Memang benar bahawa ini adalah bagaimana ia sepatutnya pada akhirnya. Matematik mestilah sains tepat (lihat juga: ).

Saya mesti mengaku bahawa di universiti tempat saya bekerja selepas bersara dari Universiti Warsaw, saya juga mengajar selama bertahun-tahun. Hanya di dalamnya terdapat baldi air sejuk yang terkenal (biarkan ia kekal seperti itu: ada keperluan untuk baldi!). Tiba-tiba, abstraksi tinggi menjadi ringan dan menyenangkan. Tetapkan perhatian: mudah tidak bermakna mudah. Peninju ringan juga mempunyai masa yang sukar.

Saya tersenyum dengan kenangan saya. Saya telah diajar asas-asas matematik oleh dekan jabatan itu, seorang ahli matematik kelas pertama yang baru tiba dari lama tinggal di Amerika Syarikat, yang pada masa itu adalah sesuatu yang luar biasa dengan sendirinya. Saya rasa dia agak sombong apabila dia terlupa sedikit bahasa Poland. Dia menyalahgunakan bahasa Poland lama "apa", "oleh itu", "azalea" dan mencipta istilah: "hubungan separuh asimetri". Saya suka menggunakannya, ia sangat tepat. Saya suka. Tetapi saya tidak memerlukan ini daripada pelajar. Ini biasanya dirujuk sebagai "antisimetri rendah". Sepuluh yang cantik.

Suatu masa dahulu, kerana pada tahun tujuh puluhan (abad yang lalu) terdapat pembaharuan yang hebat dan menggembirakan dalam pengajaran matematik. Ini bertepatan dengan permulaan tempoh singkat pemerintahan Eduard Gierek - pembukaan tertentu negara kita kepada dunia. “Kanak-kanak juga boleh diajar matematik yang lebih tinggi,” seru Guru Besar. Ringkasan kuliah universiti "Asas Matematik" telah disusun untuk kanak-kanak. Ini adalah trend bukan sahaja di Poland, tetapi di seluruh Eropah. Menyelesaikan persamaan tidak mencukupi, setiap butiran perlu dijelaskan. Agar tidak menjadi tidak berasas, setiap Pembaca boleh menyelesaikan sistem persamaan:

tetapi pelajar perlu mewajarkan setiap langkah, merujuk kepada pernyataan yang berkaitan, dsb. Ini adalah lebihan klasik bentuk berbanding kandungan. Mudah untuk saya mengkritik sekarang. Saya juga pernah menjadi penyokong pendekatan ini. Memang mengujakan... untuk anak muda yang meminati matematik. Ini, sudah tentu, adalah (dan, demi perhatian, saya).

Tetapi penyimpangan yang cukup, mari kita beralih kepada perniagaan: kuliah yang "secara teori" ditujukan untuk pelajar tahun kedua Politeknik dan akan menjadi kering seperti serpihan kelapa jika bukan kerana dia. Saya berlebih-lebihan sedikit...

Selamat pagi untuk awak. Topik hari ini ialah pembersihan separa. Tidak, ini bukan tanda pembersihan yang cuai. Perbandingan terbaik adalah untuk mempertimbangkan mana yang lebih baik: sup tomato atau kek krim. Jawapannya jelas: bergantung pada apa. Untuk pencuci mulut - biskut, dan untuk hidangan berkhasiat: sup.

Dalam matematik, kita berurusan dengan nombor. Mereka dipesan: mereka lebih besar dan kurang, tetapi dua nombor berbeza, satu sentiasa kurang, yang bermaksud bahawa yang lain lebih besar. Mereka disusun mengikut urutan, seperti huruf dalam abjad. Dalam jurnal kelas, susunannya boleh seperti berikut: Adamchik, Baginskaya, Khoinitsky, Derkovsky, Elget, Filipov, Gzhechnik, Kholnitsky (mereka adalah kawan dan rakan sekelas dari kelas saya!). Kami juga tidak ragu-ragu bahawa Matusyak "Matushelyansky" Matushevsky "Matisyak. Simbol untuk "ketaksamaan berganda" mempunyai makna "sebelum".

Di kelab pelancongan saya, kami cuba membuat senarai mengikut abjad, tetapi mengikut nama, contohnya, Alina Wrońska "Warvara Kaczarska", Cesar Bouschitz, dll. Dalam rekod rasmi, susunan itu akan diterbalikkan. Ahli matematik merujuk kepada susunan abjad sebagai leksikografi (leksikon lebih kurang seperti kamus). Sebaliknya, perintah sedemikian, di mana dalam nama yang terdiri daripada dua bahagian (Michal Shurek, Alina Wronska, Stanislav Smazhinsky) kita mula-mula melihat bahagian kedua, adalah perintah anti-lexicographic untuk ahli matematik. Tajuk yang panjang, tetapi kandungan yang sangat ringkas.

1. Susunan linear: stesen dan perhentian di kereta api Habovka-Zakopane dari Podhale, dibina pada tahun 1899 (Saya menyerahkan penyahkodan singkatan kepada pembaca).

Semua pesanan sedemikian dipanggil pesanan baris. Kami memesan mengikut giliran: pertama, kedua, ketiga. Semuanya teratur, dari titik pertama hingga terakhir. Ia tidak selalu masuk akal. Lagipun, kami menyusun buku di perpustakaan bukan seperti ini, tetapi dalam bahagian. Hanya di dalam jabatan kami susun secara linear (biasanya mengikut abjad).

2. Susunan linear: apabila menghidupkan enjin kereta, kami melakukan tindakan dalam susunan yang konsisten.

Dengan projek yang lebih besar, terutamanya dalam kerja berpasukan, kami tidak lagi mempunyai susunan linear. Jom tengok ara. 3. Kami ingin membina sebuah hotel kecil. Kami sudah mempunyai wang (sel 0). Kami membuat permit, mengumpul bahan, memulakan pembinaan, dan pada masa yang sama menjalankan kempen pengiklanan, mencari pekerja, dan sebagainya dan sebagainya. Apabila kami mencapai "10", tetamu pertama boleh mendaftar masuk (contoh dari kisah En. Dombrowski dan hotel kecil mereka di pinggir bandar Krakow). Kami ada susunan tak linear – beberapa perkara boleh berlaku secara selari.

Dalam bidang ekonomi, anda akan belajar tentang konsep laluan kritikal. Ini ialah set tindakan yang mesti dilakukan secara berurutan (dan ini dipanggil rantaian dalam matematik, lebih kepada itu dalam seketika), dan yang mengambil masa paling lama. Mengurangkan masa pembinaan adalah penyusunan semula laluan kritikal. Tetapi lebih lanjut mengenai ini dalam kuliah lain (saya mengingatkan anda bahawa saya sedang membaca "kuliah universiti"). Kami fokus pada matematik.

Gambar rajah seperti Rajah 3 dipanggil rajah Hasse (Helmut Hasse, ahli matematik Jerman, 1898–1979). Setiap usaha yang kompleks mesti dirancang dengan cara ini. Kami melihat urutan tindakan: 1-5-8-10, 2-6-8, 3-6, 4-7-9-10. Ahli matematik memanggil mereka rentetan. Keseluruhan idea terdiri daripada empat rantai. Sebaliknya, kumpulan aktiviti 1-2-3-4, 5-6-7, dan 8-9 adalah antichain. Inilah yang dipanggil. Hakikatnya ialah dalam kumpulan tertentu, tiada satu pun tindakan bergantung pada yang sebelumnya.

4. Ini juga adalah gambar rajah Hasse.

Mari pergi ke gambar 4. Apa yang mengagumkan? Tetapi ia boleh menjadi peta metro di sesetengah bandar! Kereta api bawah tanah sentiasa dikumpulkan dalam barisan - ia tidak melalui satu sama lain. Garisan adalah garisan yang berasingan. Di bandar Rajah. 4 ialah bakar baris (ingat itu bakar ia ditulis "boldem" - dalam bahasa Poland ia dipanggil separa tebal).

Dalam rajah ini (Rajah 4) terdapat ABF kuning pendek, ACFPS enam stesen, ADGL hijau, DGMRT biru, dan merah terpanjang. Ahli matematik akan berkata: rajah Hasse ini mempunyai bakar rantai. Ia berada di garisan merah 7 stesen: AEINRUW. Bagaimana dengan antichain? Ada mereka 7. Pembaca sudah perasan bahawa saya menggaris dua kali perkataan itu 7.

Antichain ini adalah satu set stesen yang mustahil untuk pergi dari satu stesen ke stesen lain tanpa pemindahan. Apabila kita "faham" sedikit, kita akan melihat antichain berikut: A, BCLTV, DE, FGHJ, KMN, PU, ​​​​SR. Sila semak, sebagai contoh, adalah tidak mungkin untuk melakukan perjalanan dari mana-mana stesen BCLTV ke BCTLV lain tanpa pemindahan, dengan lebih tepat: tanpa perlu kembali ke stesen yang ditunjukkan di bawah. Berapa banyak antichain yang ada? Tujuh. Apakah saiz yang paling besar? bakar (sekali lagi dalam huruf tebal).

Anda boleh bayangkan, pelajar, bahawa kebetulan nombor ini bukan kebetulan. ini. Ini ditemui dan dibuktikan (iaitu selalu begitu) pada tahun 1950 oleh Robert Palmer Dilworth (1914–1993, ahli matematik Amerika). Bilangan baris yang diperlukan untuk menutup keseluruhan set adalah sama dengan saiz antichain terbesar, dan sebaliknya: bilangan antichain adalah sama dengan panjang antichain terpanjang. Ini selalu berlaku dalam set separa tertib, i.e. satu yang boleh divisualisasikan. Gambar rajah Hassego. Ini bukanlah definisi yang ketat dan betul. Inilah yang dipanggil oleh ahli matematik sebagai "definisi kerja". Ini agak berbeza daripada "definisi kerja". Ini adalah petunjuk tentang cara memahami set tertib separa. Ini adalah bahagian penting dalam mana-mana latihan: lihat cara ia berfungsi.

Singkatan bahasa Inggeris ialah - perkataan ini kedengaran indah dalam bahasa Slavic, sedikit seperti thistle. Perhatikan bahawa thistle juga bercabang.

Sangat bagus, tetapi siapa yang memerlukannya? Anda, pelajar yang dikasihi, memerlukannya untuk lulus peperiksaan, dan ini mungkin alasan yang cukup baik untuk mempelajarinya. Saya mendengar, soalan apa? Saya mendengar, tuan dari bawah tingkap. Oh, persoalannya, adakah ini akan berguna kepada Tuhan dalam hidup anda? Mungkin tidak, tetapi untuk seseorang yang lebih bijak daripada anda, pasti ... Mungkin untuk analisis laluan kritikal dalam projek ekonomi yang kompleks?

Saya menulis teks ini pada pertengahan bulan Jun, pemilihan rektor sedang berlangsung di Universiti Warsaw. Saya telah membaca beberapa komen daripada pengguna Internet. Terdapat jumlah kebencian (atau "kebencian") yang mengejutkan terhadap "orang terpelajar". Seseorang secara terang-terangan menulis bahawa orang yang berpendidikan universiti kurang tahu berbanding mereka yang berpendidikan universiti. Sudah tentu, saya tidak akan masuk ke dalam perbincangan. Saya hanya sedih kerana pendapat yang mantap di Republik Rakyat Poland kembali bahawa segala-galanya boleh dilakukan dengan tukul dan pahat. Saya kembali kepada matematik.

Teorem Dillworth mempunyai beberapa aplikasi yang menarik. Salah satunya dikenali sebagai teorem perkahwinan.ara. 6). 

Terdapat sekumpulan wanita (agak perempuan) dan kumpulan lelaki yang lebih besar sedikit. Setiap gadis berfikir seperti ini: "Saya boleh berkahwin dengan yang ini, untuk yang lain, tetapi tidak pernah dalam hidup saya untuk yang ketiga." Dan seterusnya, setiap orang mempunyai keutamaan mereka sendiri. Kami melukis gambar rajah, membawa kepada setiap daripada mereka anak panah dari lelaki yang dia tidak menolak sebagai calon untuk mezbah. S: Bolehkah pasangan dipadankan supaya masing-masing mencari suami yang diterimanya?

Teorem Philip Hall, mengatakan bahawa ini boleh dilakukan - dalam keadaan tertentu, yang saya tidak akan membincangkan di sini (kemudian pada kuliah seterusnya, pelajar, sila). Walau bagaimanapun, ambil perhatian bahawa kepuasan lelaki tidak disebut di sini sama sekali. Seperti yang anda tahu, wanita yang memilih kita, dan bukan sebaliknya, seperti yang kita nampak (saya ingatkan saya seorang pengarang, bukan pengarang).

Beberapa matematik yang serius. Bagaimanakah teorem Hall mengikut daripada Dilworth? Ia sangat mudah. Mari kita lihat semula rajah 6. Rantai di sana sangat pendek: ia mempunyai panjang 2 (berlari ke arah). Satu set lelaki kecil adalah anti-rantai (tepat kerana anak panah hanya ke arah). Oleh itu, anda boleh menutup keseluruhan koleksi dengan seberapa banyak anti-rantai seperti yang terdapat pada lelaki. Jadi setiap wanita akan mempunyai anak panah. Dan itu bermakna dia boleh kelihatan seperti lelaki yang dia terima!!!

Tunggu, ada yang bertanya, adakah itu sahaja? Adakah itu semua aplikasi? Hormon entah bagaimana akan serasi dan mengapa matematik? Pertama, ini bukan keseluruhan aplikasi, tetapi hanya satu daripada siri besar. Mari lihat salah satu daripadanya. Biarkan (Rajah 6) bermaksud bukan wakil jantina yang lebih baik, tetapi pembeli prosaik, dan ini adalah jenama, contohnya, kereta, mesin basuh, produk penurunan berat badan, tawaran agensi pelancongan, dll. Setiap pembeli mempunyai jenama yang dia terima dan menolak. Bolehkah sesuatu dilakukan untuk menjual sesuatu kepada semua orang dan bagaimana? Di sinilah bukan sahaja jenaka berakhir, tetapi juga pengetahuan pengarang artikel mengenai topik ini. Apa yang saya tahu analisisnya adalah berdasarkan matematik yang agak kompleks.

Mengajar matematik di sekolah adalah mengajar algoritma. Ini adalah bahagian penting dalam pembelajaran. Tetapi perlahan-lahan kita bergerak ke arah pembelajaran bukan matematik sebagai kaedah matematik. Kuliah hari ini hanya mengenai perkara ini: kita bercakap tentang pembinaan mental abstrak, kita memikirkan kehidupan seharian. Kami bercakap tentang rantai dan antichain dalam set dengan hubungan songsang, transitif dan lain-lain yang kami gunakan dalam model penjual-pembeli. Komputer akan melakukan semua pengiraan untuk kita. Dia tidak akan mencipta model matematik lagi. Kita masih menang dengan pemikiran kita. Apa-apa pun, harap selagi boleh!