Mengapa kita tidak membahagi dengan sifar?
Содержание
Pembaca mungkin tertanya-tanya mengapa saya menumpukan keseluruhan artikel kepada isu cetek seperti itu? Puncanya ialah bilangan pelajar yang mengejutkan (!) yang bersahaja menjalankan operasi di bawah nama itu. Dan bukan sahaja pelajar. Kadang-kadang saya menangkap dan guru. Apakah yang boleh dilakukan oleh pelajar guru sedemikian dalam matematik? Sebab segera untuk menulis teks ini adalah perbualan dengan seorang guru yang baginya pembahagian dengan sifar tidak menjadi masalah ...
Dengan sifar, ya, kecuali untuk kerumitan apa-apa, kerana kita tidak benar-benar perlu menggunakannya dalam kehidupan seharian. Kami tidak pergi membeli-belah untuk telur sifar. "Ada satu orang di dalam bilik" bunyi entah bagaimana semula jadi, dan "sifar orang" bunyi buatan. Ahli bahasa mengatakan bahawa sifar adalah di luar sistem bahasa.
Kita boleh lakukan tanpa sifar dalam akaun bank juga: hanya gunakan - seperti pada termometer - merah dan biru untuk nilai positif dan negatif (perhatikan bahawa untuk suhu adalah semula jadi untuk menggunakan merah untuk nombor positif, dan untuk akaun bank ia adalah sebaliknya, kerana debit harus mencetuskan amaran, jadi merah sangat disyorkan).
Dengan memasukkan sifar sebagai nombor asli, kita menyentuh masalah pembezaan Nombor kardinal od rumahtangga. Dalam 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..
kuasa nombor adalah sama dengan nombor tempat di mana ia berdiri. Jika tidak, ia sudah berada dalam urutan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..
Bilangan set tunggal datang kedua, bilangan set dengan dua elemen datang ketiga, dan seterusnya. Kita perlu menjelaskan mengapa, sebagai contoh, kita tidak menomborkan tempat atlet dalam pertandingan dari awal. Kemudian pemenang tempat pertama akan menerima pingat perak (emas menjadi pemenang tempat sifar), dan seterusnya. Prosedur yang agak serupa digunakan dalam bola sepak - Saya tidak tahu sama ada Pembaca tahu bahawa "liga satu" bermaksud " mengikuti yang terbaik." “, dan liga sifar dipanggil untuk menjadi “liga utama”.
Kadang-kadang kita mendengar hujah bahawa kita perlu bermula dari awal, kerana ia mudah untuk orang IT. Meneruskan pertimbangan ini, takrifan kilometer harus diubah - ia sepatutnya 1024 m, kerana ini adalah bilangan bait dalam kilobait (Saya akan merujuk kepada jenaka yang diketahui oleh saintis komputer: "Apakah perbezaan antara pelajar baru dan seorang pelajar sains komputer dan pelajar tahun lima fakulti ini? bahawa satu kilobait ialah 1000 kilobait, yang terakhir - bahawa satu kilometer ialah 1024 meter")!
Satu lagi pandangan, yang sepatutnya diambil serius, adalah ini: kami sentiasa mengukur dari awal! Ia cukup untuk melihat mana-mana skala pada pembaris, pada skala rumah tangga, walaupun pada jam. Memandangkan kita mengukur dari sifar, dan mengira boleh difahami sebagai ukuran dengan unit tanpa dimensi, maka kita harus mengira dari sifar.
Ia adalah perkara yang mudah, tetapi...
Mari tinggalkan penaakulan umum dan kembali kepada pembahagian dengan sifar. Perkara itu mudah dan ia akan menjadi mudah jika tidak kerana ... jadi apa? Mari kita fikir dan cuba. Berapakah jumlahnya - satu dibahagikan dengan sifar? Mari kita lihat: 1/0 = x. Darab kedua-dua belah dengan penyebut bahagian kiri.
Kami mendapat 1=0. Ada yang tak kena! Apa yang berlaku? Ah rasa! Andaian bahawa terdapat hasil bagi perpaduan dan sifar membawa kepada percanggahan. Dan jika satu tidak boleh dibahagikan dengan sifar, maka nombor lain boleh. Jika, Pembaca, anda mengangkat bahu anda dan tertanya-tanya mengapa pengarang (iaitu, saya) menulis tentang kata-kata kosong seperti itu, maka ... saya sangat gembira!
Formula 0/0 = 0 boleh dipertahankan atas dasar degil, tetapi ia bercanggah dengan peraturan bahawa hasil pembahagian nombor dengan sendirinya adalah sama dengan satu. Sama sekali, tetapi agak berbeza adalah simbol seperti 0/0, °/° dan seumpamanya dalam kalkulus. Mereka tidak bermaksud sebarang nombor, tetapi merupakan sebutan simbolik untuk urutan tertentu jenis tertentu.
Dalam buku kejuruteraan elektrik, saya dapati perbandingan yang menarik: membahagi dengan sifar sama bahayanya dengan elektrik voltan tinggi. Ini adalah perkara biasa: Hukum Ohm menyatakan bahawa nisbah voltan kepada rintangan adalah sama dengan arus: V = U / R. Jika rintangan adalah sifar, arus tak terhingga secara teorinya akan mengalir melalui konduktor, membakar semua konduktor yang mungkin.
Saya pernah menulis puisi tentang bahaya membahagi dengan sifar untuk setiap hari dalam seminggu. Saya ingat hari yang paling dramatik ialah hari Khamis, tetapi sayangnya semua kerja saya di kawasan ini.
Apabila anda membahagikan sesuatu dengan sifar
Isnin awal sangat
Minggu apa yang baru berlaku
Anda telah gagal dengan teruk.
Apabila petang Selasa
Anda meletakkan sifar dalam penyebut
Saya akan memberitahu anda kemudian, anda salah
Ahli matematik yang teruk!
Apabila melalui sifar, melalui penyelewengan,
Nak berpisah hari Rabu
Anda akan mendapat banyak masalah
Anda mempunyai jerami dan air di kepala anda!
Bartek tertentu ada bersama kami.
Dia bertentangan dengan peraturan.
Pada hari Khamis, ia boleh dibahagi dengan sifar.
Dia bukan lagi antara kita!
Jika keinginan pelik menguasai anda
Bahagikan dengan sifar pada hari Jumaat
Saya akan jujur, saya akan jujur:
Permulaan yang buruk untuk hujung minggu ini.
Apabila ia sifar, di suatu tempat pada hari Sabtu
Pembahagi akan menjadi milik anda (tidak tebal)
Berlutut di bawah pagar gereja.
Ini adalah kebangkitan anda.
Adakah anda mahu sifar di bawah sengkang,
Buat cuti pada hari Ahad
Bawa kapur, papan hitam.
Tulis: ia tidak boleh dibahagikan dengan sifar!
Sifar dikaitkan dengan kekosongan dan ketiadaan. Sesungguhnya, dia datang kepada matematik sebagai kuantiti yang, apabila ditambah kepada mana-mana, tidak mengubahnya: x + 0 = x. Tetapi kini sifar muncul dalam beberapa nilai lain, terutamanya sebagai permulaan skala. Jika di luar tingkap tidak ada suhu positif atau fros, maka ... ini adalah sifar, yang tidak bermakna tiada suhu sama sekali. Monumen kelas sifar bukanlah monumen yang telah lama dirobohkan dan tidak wujud. Sebaliknya, ia adalah sesuatu seperti Wawel, Menara Eiffel dan Patung Liberty.
Nah, kepentingan sifar dalam sistem kedudukan hampir tidak boleh dianggarkan terlalu tinggi. Adakah anda tahu, Pembaca, berapa banyak sifar yang Bill Gates ada dalam akaun banknya? Saya tidak tahu, tetapi saya mahu separuh. Nampaknya, Napoleon Bonaparte menyedari bahawa manusia seperti sifar: mereka memperoleh makna melalui kedudukan. Dalam As the Years, As the Days Pass karya Andrzej Wajda, artis yang bersemangat Jerzy meletup: "Philister adalah sifar, nihil, tiada, tiada, nihil, sifar." Tetapi sifar boleh menjadi baik: "sifar sisihan daripada norma" bermakna semuanya berjalan lancar, dan teruskan!
Mari kita kembali kepada matematik. Sifar boleh ditambah, ditolak dan didarab tanpa dikenakan hukuman. "Saya mendapat sifar kilogram," kata Manya kepada Anya. "Dan ini menarik, kerana saya kehilangan berat badan yang sama," jawab Anya. Jadi mari kita makan enam sifar hidangan ais krim enam kali, ia tidak akan merugikan kita.
Kita tidak boleh membahagi dengan sifar, tetapi kita boleh membahagi dengan sifar. Sepinggan sifar ladu boleh diserahkan dengan mudah kepada mereka yang sedang menunggu makanan. Berapa masing-masing akan dapat?
Sifar tidak positif atau negatif. Ini dan nombornya tidak positifи bukan negatif. Ia memenuhi ketaksamaan x≥0 dan x≤0. Percanggahan "sesuatu yang positif" bukanlah "sesuatu yang negatif", tetapi "sesuatu yang negatif atau sama dengan sifar". Ahli matematik, bertentangan dengan peraturan bahasa, akan sentiasa mengatakan bahawa sesuatu adalah "sama dengan sifar" dan bukan "sifar." Untuk mewajarkan amalan ini, kita ada: jika kita membaca formula x = 0 "x sama dengan sifar" maka x = 1 kita membaca "x sama dengan satu", yang boleh ditelan, tetapi bagaimana pula dengan "x = 1534267" ? Anda juga tidak boleh memberikan nilai berangka kepada aksara 00mahupun menaikkan sifar kepada kuasa negatif. Sebaliknya, anda boleh mengakar sifar sesuka hati... dan hasilnya akan sentiasa sifar.
Fungsi eksponen y = ax, asas positif a, tidak pernah menjadi sifar. Ia berikutan bahawa logaritma sifar tidak wujud. Sesungguhnya, logaritma a kepada asas b ialah eksponen yang asasnya mesti dinaikkan untuk mendapatkan logaritma a. Untuk a = 0, tiada penunjuk sedemikian, dan sifar tidak boleh menjadi asas logaritma. Walau bagaimanapun, sifar dalam "penyebut" simbol Newton adalah sesuatu yang lain. Kami menganggap bahawa konvensyen ini tidak membawa kepada percanggahan.
bukti palsu
Pembahagian dengan sifar adalah subjek biasa untuk bukti palsu, dan ia berlaku walaupun kepada ahli matematik berpengalaman. Biar saya berikan anda dua contoh kegemaran saya. Yang pertama ialah algebra. Saya akan "membuktikan" bahawa semua nombor adalah sama. Katakan terdapat dua nombor yang tidak sama. Oleh itu, salah satu daripada mereka lebih besar daripada yang lain, biarkan a > b. Mari kita andaikan bahawa c ialah perbezaan mereka
c \uXNUMXd a - b. Jadi kita mempunyai a - b = c, dari mana a = b + c.
Kami mendarabkan kedua-dua bahagian yang terakhir dengan a - b:
a2 – ab = ab + ac – b2 – bc.
Saya menterjemah ak ke sebelah kiri, sudah tentu saya ingat tentang menukar tanda:
a2 - ab - ac = ab - b2 - bc.
Saya mengecualikan faktor biasa:
A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c),
Saya berkongsi dan saya mempunyai apa yang saya mahukan:
a = b.
Dan sebenarnya lebih pelik, kerana saya menganggap bahawa a > b, dan saya mendapat bahawa a = b. Jika dalam contoh di atas "menipu" mudah dikenali, maka dalam bukti geometri di bawah ia tidak begitu mudah. Saya akan buktikan bahawa ... trapezoid tidak wujud. Rajah yang biasa dipanggil trapezoid tidak wujud.
Tetapi andaikan dahulu bahawa terdapat perkara seperti trapezoid (ABCD dalam rajah di bawah). Ia mempunyai dua sisi selari ("tapak"). Mari kita regangkan pangkalan ini, seperti yang ditunjukkan dalam gambar, supaya kita mendapat segi empat selari. Diagonalnya membahagikan pepenjuru lain trapezoid kepada segmen yang panjangnya dilambangkan x, y, z, seperti dalam gambar 1. Daripada persamaan segi tiga yang sepadan, kami memperoleh perkadaran:
di mana kita takrifkan:
Oraz
di mana kita takrifkan:
Kurangkan sisi kesamaan yang ditanda dengan asterisk:
Memendekkan kedua-dua belah dengan x − z, kita dapat – a/b = 1, yang bermaksud bahawa a + b = 0. Tetapi nombor a, b ialah panjang tapak trapezoid. Jika jumlah mereka adalah sifar, maka mereka juga sifar. Ini bermakna figura seperti trapezoid tidak boleh wujud! Dan kerana segi empat tepat, belah ketupat dan segi empat sama juga adalah trapezoid, maka, Pembaca yang dikasihi, tidak ada belah ketupat, segi empat tepat dan segi empat sama ...
Teka Teka
Perkongsian maklumat adalah yang paling menarik dan mencabar daripada empat aktiviti asas. Di sini, buat pertama kalinya, kami menghadapi fenomena yang begitu biasa pada masa dewasa: "teka jawapannya, dan kemudian semak sama ada anda meneka dengan betul." Ini sangat tepat diungkapkan oleh Daniel K. Dennett (“Bagaimana Membuat Kesilapan?”, dalam How It Is – A Scientific Guide to the Universe, CiS, Warsaw, 1997):
Kaedah "meneka" ini tidak mengganggu kehidupan dewasa kita - mungkin kerana kita mempelajarinya lebih awal dan meneka tidak sukar. Secara ideologi, fenomena yang sama berlaku, contohnya, dalam induksi matematik (lengkap). Di tempat yang sama, kami "meneka" formula dan kemudian menyemak sama ada tekaan kami betul. Pelajar selalu bertanya: “Bagaimana kita tahu coraknya? Bagaimana ia boleh dikeluarkan?" Apabila pelajar bertanya kepada saya soalan ini, saya menukar soalan mereka menjadi jenaka: "Saya tahu ini kerana saya seorang profesional, kerana saya dibayar untuk mengetahuinya." Pelajar di sekolah boleh dijawab dengan gaya yang sama, cuma lebih serius.
Latihan. Perhatikan bahawa kita memulakan penambahan dan pendaraban bertulis dengan unit terendah, dan pembahagian dengan unit tertinggi.
Gabungan dua idea
Guru matematik sentiasa menegaskan bahawa apa yang kita panggil pemisahan dewasa ialah penyatuan dua idea berbeza secara konsep: Perumahan i pemisahan.
Yang pertama (Perumahan) berlaku dalam tugas di mana bentuk dasar ialah:
Bahagi-bahagi Ini adalah tugas-tugas seperti:
? (Kami mengekalkan gaya asal masalah ini, yang diambil daripada buku panduan Julian Zgozalewicz yang diterbitkan di Krakow pada tahun 1892 - złoty ialah złoty Rhenish, mata wang yang berada dalam edaran di Empayar Austro-Hungary sehingga awal abad ke-XNUMX).
Sekarang pertimbangkan dua masalah dengan buku teks matematik tertua dalam bahasa Poland, bapa Tomasz Clos (1538). Adakah bahagian atau coupe? Selesaikan cara kanak-kanak sekolah pada abad ke-XNUMX harus:
(Terjemahan Poland ke Poland: Terdapat satu liter dan empat periuk dalam tong. Satu periuk adalah empat liter. Seseorang membeli 20 tong wain dengan harga 50 zł untuk perdagangan. Duti dan cukai (eksais?) akan menjadi 8 zł. Berapa banyak untuk jual satu liter untuk memperoleh 8 zł?)
Sukan, fizik, kongruen
Kadang-kadang dalam sukan anda perlu membahagikan sesuatu dengan sifar (nisbah matlamat). Nah, hakim entah bagaimana menanganinya. Walau bagaimanapun, dalam algebra abstrak mereka berada dalam agenda. kuantiti bukan sifaryang kuasa duanya adalah sifar. Malah boleh dijelaskan secara ringkas.
Pertimbangkan fungsi F yang mengaitkan titik (y, 0) dengan titik dalam satah (x, y). Apakah F2, iaitu, pelaksanaan dua kali F? Fungsi sifar - setiap titik mempunyai imej (0,0).
Akhir sekali, kuantiti bukan sifar yang kuasa duanya adalah 0 adalah roti hampir setiap hari untuk ahli fizik, dan nombor dalam bentuk a + bε, di mana ε ≠ 0, tetapi ε2 = 0, ahli matematik memanggil nombor berganda. Ia berlaku dalam analisis matematik dan dalam geometri pembezaan.
Lagipun, terdapat sesuatu dalam aritmetik yang mempunyai pembahagian dengan sifar dalam sekurang-kurangnya nama. Ia datang dari kesesuaian. Biarkan Z menandakan set integer. Membahagikan set Z dengan p bermakna kita menyamakan setiap nombor (integer) kepada beberapa yang lain, iaitu, dengan yang perbezaannya boleh dibahagikan. Jadi, apabila kita mempunyai lima jenis nombor yang sepadan dengan nombor 0, 1, 2, 3, 4 - baki yang mungkin apabila dibahagikan dengan 5. Formula ditulis seperti ini:
mod apabila perbezaan adalah gandaan.
Untuk = 2, kita hanya mempunyai dua nombor: 0 dan 1. Membahagikan integer kepada dua kelas sedemikian adalah bersamaan dengan membahagikannya kepada genap dan ganjil. Jom ganti sekarang. Perbezaannya sentiasa boleh dibahagi dengan 1 (sebarang integer boleh dibahagi dengan 1). Adakah mungkin untuk mengambil =0? Mari cuba: bilakah perbezaan dua nombor adalah gandaan sifar? Hanya apabila kedua-dua nombor ini sama. Jadi membahagikan set integer dengan sifar masuk akal, tetapi ia tidak menarik: tiada apa yang berlaku. Walau bagaimanapun, perlu ditegaskan bahawa ini bukanlah pembahagian nombor dalam erti kata yang diketahui dari sekolah rendah.
Tindakan sedemikian adalah dilarang, begitu juga dengan matematik yang panjang dan luas.
nasi. 2. Mengenal pasti nombor menggunakan perbandingan
(mod 5 dan mod 2)
