Mengembara ke dunia matematik yang tidak nyata

Saya menulis artikel ini dalam salah satu persekitaran, selepas kuliah dan latihan di kolej sains komputer. Saya mempertahankan diri daripada kritikan terhadap pelajar sekolah ini, pengetahuan mereka, sikap terhadap sains dan, yang paling penting, kemahiran mengajar mereka. Ini... tiada siapa yang mengajar mereka.

Kenapa saya sangat defensif? Atas sebab yang mudah - Saya berada pada usia yang, mungkin, dunia di sekeliling kita masih belum difahami. Mungkin saya sedang mengajar mereka untuk memanfaatkan dan melepaskan kuda, dan tidak memandu kereta? Mungkin saya mengajar mereka menulis dengan pen bulu? Walaupun saya mempunyai pendapat yang lebih baik tentang seseorang, saya menganggap diri saya "mengikut", tetapi…

Sehingga baru-baru ini, di sekolah menengah, mereka bercakap tentang nombor kompleks. Dan pada hari Rabu ini saya pulang ke rumah, berhenti - hampir tidak ada pelajar yang mengetahui apa itu dan cara menggunakan nombor ini. Ada yang melihat semua matematik seperti angsa di pintu yang dicat. Tetapi saya juga benar-benar terkejut apabila mereka memberitahu saya cara belajar. Ringkasnya, setiap jam kuliah adalah dua jam kerja rumah: membaca buku teks, belajar bagaimana menyelesaikan masalah pada topik tertentu, dsb. Setelah bersedia dengan cara ini, kami datang ke latihan, di mana kami memperbaiki segala-galanya ... Senangnya, para pelajar, nampaknya, berfikir bahawa duduk di kuliah - paling kerap melihat ke luar tingkap - sudah menjamin kemasukan pengetahuan ke dalam kepala.

Berhenti! Cukuplah ini. Saya akan menerangkan jawapan saya kepada soalan yang saya terima semasa kelas dengan felo dari Tabung Kanak-Kanak Negara, sebuah institusi yang menyokong kanak-kanak berbakat dari seluruh negara. Soalannya (atau lebih tepatnya cadangan) ialah:

— Bolehkah anda memberitahu kami sesuatu tentang nombor tidak nyata?

“Sudah tentu,” jawab saya. 

Realiti nombor

"Seorang kawan adalah saya yang lain, persahabatan adalah nisbah nombor 220 dan 284," kata Pythagoras. Intinya di sini ialah jumlah pembahagi nombor 220 ialah 284, dan jumlah pembahagi nombor 284 ialah 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Satu lagi kebetulan yang menarik antara nombor 220 dan 284 ialah: tujuh belas nombor perdana tertinggi ialah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53 , dan 59.

Jumlahnya ialah 2x220, dan hasil tambah segi empat sama ialah 59x284.

Pertama. Tiada konsep "nombor nyata". Ia seperti selepas membaca artikel tentang gajah, anda bertanya, "Sekarang kita akan meminta bukan gajah." Terdapat keseluruhan dan bukan keseluruhan, rasional dan tidak rasional, tetapi tidak ada yang tidak nyata. Secara khusus: nombor yang tidak nyata tidak dipanggil tidak sah. Terdapat banyak jenis "nombor" dalam matematik, dan ia berbeza antara satu sama lain, seperti - untuk mengambil perbandingan zoologi - gajah dan cacing tanah.

Kedua, kami akan melakukan operasi yang anda mungkin sudah tahu adalah dilarang: mengekstrak punca kuasa dua nombor negatif. Nah, matematik akan mengatasi halangan tersebut. Adakah ia masuk akal walaupun? Dalam matematik, seperti dalam mana-mana sains lain, sama ada sesuatu teori masuk selama-lamanya ke dalam repositori pengetahuan bergantung ... pada aplikasinya. Jika tidak berguna, maka berakhirlah ia ke dalam tong sampah, kemudian menjadi sampah sejarah ilmu. Tanpa nombor yang saya bincangkan di akhir artikel ini, adalah mustahil untuk membangunkan matematik. Tetapi mari kita mulakan dengan beberapa perkara kecil. Apakah nombor nyata, anda tahu. Mereka mengisi garis nombor dengan padat dan tanpa jurang. Anda juga tahu apakah nombor asli: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - kesemuanya tidak akan muat ingatan walaupun paling hebat. Mereka juga mempunyai nama yang indah: semula jadi. Mereka mempunyai begitu banyak sifat menarik. Bagaimana anda suka ini:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

“Adalah lumrah untuk berminat dengan nombor asli,” kata Karl Lindenholm, dan Leopold Kronecker (1823–1891) dengan ringkas menyatakannya: “Tuhan mencipta nombor asli—semua yang lain adalah kerja manusia!” Pecahan (dipanggil nombor rasional oleh ahli matematik) juga mempunyai sifat yang menakjubkan:

dan dalam persamaan:

anda boleh, bermula dari sebelah kiri, gosok tambah dan gantikannya dengan tanda pendaraban - dan kesamaan akan kekal benar:

Dan sebagainya.

Seperti yang anda ketahui, untuk pecahan a/b, dengan a dan b ialah integer, dan b ≠ 0, mereka katakan nombor rasional. Tetapi hanya dalam bahasa Poland mereka memanggil diri mereka begitu. Mereka bercakap Inggeris, Perancis, Jerman dan Rusia. nombor rasional. Dalam bahasa Inggeris: nombor rasional. Nombor tak rasional ia tidak rasional, tidak rasional. Kami juga bercakap bahasa Poland tentang teori, idea dan perbuatan yang tidak rasional - ini adalah kegilaan, khayalan, tidak dapat dijelaskan. Mereka mengatakan bahawa wanita takut kepada tikus - bukankah itu sangat tidak rasional?

Pada zaman dahulu, nombor mempunyai jiwa. Masing-masing bermakna sesuatu, masing-masing melambangkan sesuatu, masing-masing mencerminkan zarah keharmonian Alam Semesta itu, iaitu, dalam bahasa Yunani, Kosmos. Perkataan "kosmos" bermaksud "tertib, perintah". Yang paling penting ialah enam (nombor sempurna) dan sepuluh, jumlah nombor berturut-turut 1+2+3+4, terdiri daripada nombor lain yang perlambangannya kekal hingga ke hari ini. Jadi Pythagoras mengajar bahawa nombor adalah permulaan dan sumber segala-galanya, dan hanya penemuan nombor tidak rasional mengalihkan pergerakan Pythagoras ke arah geometri. Kami tahu alasan dari sekolah itu

√2 ialah nombor tak rasional

Untuk andaikan bahawa terdapat: dan bahawa pecahan ini tidak boleh dikurangkan. Khususnya, kedua-dua p dan q adalah ganjil. Mari kuasa dua: 2q²=p². Nombor p tidak boleh ganjil, sejak itu p² juga akan menjadi, dan di sebelah kiri kesamaan terdapat gandaan 2. Oleh itu, p ialah genap, iaitu, p = 2r, maka p²= 4r². Kami mengurangkan persamaan 2q²= 4r² dengan 2. Kami mendapat q²= 2r² dan kita melihat bahawa q juga mestilah genap, yang kita anggap tidak begitu. Percanggahan yang terhasil melengkapkan bukti - formula ini selalunya boleh didapati dalam setiap buku matematik. Bukti keadaan ini adalah helah kegemaran para sofis.

Kebesaran ini tidak dapat difahami oleh Pythagoreans. Segala-galanya mesti boleh diterangkan dengan nombor, dan pepenjuru segi empat sama, yang sesiapa sahaja boleh lukis dengan kayu melintasi pasir, tidak mempunyai panjang, iaitu boleh diukur. "Iman kami sia-sia," kata orang Pythagorean. Bagaimana pula? Ia agak... tidak rasional. Kesatuan cuba menyelamatkan diri dengan kaedah mazhab. Sesiapa sahaja yang berani mendedahkan kewujudannya nombor tidak rasional, akan dihukum mati, dan, nampaknya, hukuman pertama telah dilaksanakan oleh tuannya sendiri.

Tetapi "pemikiran itu berlalu tanpa cedera." Zaman keemasan telah tiba. Orang Yunani mengalahkan orang Parsi (Marathon 490, Blok 479). Demokrasi diperkukuh, pusat pemikiran falsafah baru dan sekolah baru timbul. Pythagoreans masih bergelut dengan nombor tidak rasional. Ada yang berkhutbah: kami tidak akan memahami misteri ini; kita hanya boleh merenung dan kagum dengan Uncharted. Yang terakhir lebih pragmatik dan tidak menghormati Misteri. Pada masa itu, dua pembinaan mental muncul yang memungkinkan untuk memahami nombor tidak rasional. Hakikat bahawa kita memahaminya dengan cukup baik hari ini adalah milik Eudoxus (abad ke-XNUMX SM), dan hanya pada penghujung abad ke-XNUMX ahli matematik Jerman Richard Dedekind memberikan teori Eudoxus perkembangan yang betul selaras dengan keperluan yang ketat. logik matematik.

Jisim angka atau penyeksaan

Bolehkah anda hidup tanpa nombor? Walaupun hidup macam mana... Kami terpaksa pergi ke kedai untuk membeli kasut dengan kayu, yang sebelum ini kami ukur panjang kaki. "Saya mahu epal, ah, ini dia!" – kami akan menunjukkan penjual di pasaran. "Berapa jauhkah dari Modlin ke Nowy Dwur Mazowiecki"? "Hampir!"

Nombor digunakan untuk mengukur. Dengan bantuan mereka, kami juga menyatakan banyak konsep lain. Sebagai contoh, skala peta menunjukkan berapa banyak kawasan negara telah berkurangan. Skala dua-ke-satu, atau hanya 2, menyatakan fakta bahawa sesuatu telah digandakan saiznya. Katakan secara matematik: setiap kehomogenan sepadan dengan nombor - skalanya.

Tugas. Kami membuat salinan xerografik, membesarkan imej beberapa kali. Kemudian serpihan yang dibesarkan itu dibesarkan lagi b kali ganda. Apakah skala pembesaran am? Jawapan: a × b didarab dengan b. Skala ini perlu didarab. Nombor "tolak satu", -1, sepadan dengan satu ketepatan yang berpusat, iaitu diputar 180 darjah. Apakah nombor yang sepadan dengan pusingan 90 darjah? Tiada nombor sedemikian. Ia adalah, ia… atau lebih tepat lagi, ia akan segera. Adakah anda bersedia untuk penyeksaan moral? Berani dan ambil punca kuasa dua tolak satu. Saya sedang mendengar? Apa yang anda tidak boleh? Lagipun, saya suruh awak berani. Tarik keluar! Hei, baik, tarik, tarik... Saya akan bantu... Di sini: -1 Sekarang kita sudah ada, mari cuba gunakannya... Sudah tentu, sekarang kita boleh mengeluarkan punca semua nombor negatif, untuk contoh.:

√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1

"Tidak kira penderitaan mental yang ditimbulkannya." Inilah yang ditulis oleh Girolamo Cardano pada tahun 1539, cuba mengatasi masalah mental yang berkaitan dengannya - kerana ia tidak lama kemudian dipanggil - kuantiti khayalan. Dia menganggap ini...

...Tugas. Bahagikan 10 kepada dua bahagian, hasil darabnya ialah 40. Saya masih ingat bahawa dari episod sebelumnya dia menulis sesuatu seperti ini: Sudah tentu mustahil. Walau bagaimanapun, mari kita lakukan ini: bahagikan 10 kepada dua bahagian yang sama, masing-masing sama dengan 5. Darabkannya - ternyata 25. Daripada 25 yang terhasil, sekarang tolak 40, jika anda suka, dan anda mendapat -15. Sekarang lihat: √-15 ditambah dan ditolak daripada 5 memberi anda hasil darab 40. Ini ialah nombor 5-√-15 dan 5 + √-15. Pengesahan keputusan telah dijalankan oleh Cardano seperti berikut:

“Tidak kira sakit hati yang ditimbulkan, darab 5 + √-15 dengan 5-√-15. Kami mendapat 25 - (-15), iaitu bersamaan dengan 25 + 15. Jadi, hasil darabnya ialah 40 .... Ia benar-benar sukar."

Nah, berapakah: (1 + √-1) (1-√-1)? Jom perbanyakkan. Ingat bahawa √-1 × √-1 = -1. Hebat. Kini tugas yang lebih sukar: daripada a + b√-1 hingga ab√-1. Apa yang berlaku? Sudah tentu, seperti ini: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Apa yang menarik tentang ini? Sebagai contoh, hakikat bahawa kita boleh memfaktorkan ungkapan yang kita "tidak tahu sebelum ini." Formula pendaraban yang disingkatkan untuk²-b² Adakah anda ingat formula untuk²+b² ia tidak, kerana ia tidak boleh. Dalam domain nombor nyata, polinomial²+b² ia tidak dapat dielakkan. Mari kita nyatakan "kami" punca kuasa dua "tolak satu" dengan huruf i.²= -1. Ia adalah nombor perdana "tidak nyata". Dan itulah yang menggambarkan pusingan 90 darjah sebuah kapal terbang. kenapa? Lagipun,²= -1, dan menggabungkan satu putaran 90 darjah dan satu lagi putaran 180 darjah memberikan putaran 45 darjah. Apakah jenis putaran yang diterangkan? Jelas sekali pusingan XNUMX darjah. Apakah maksud -i? Ia sedikit lebih rumit:

(-saya)² = -i × (-i) = + i² = -1

Jadi -i juga menerangkan putaran 90 darjah, hanya dalam arah yang bertentangan dengan putaran i. Mana satu kiri dan mana satu kanan? Anda mesti membuat temu janji. Kami menganggap bahawa nombor i menentukan putaran ke arah yang dianggap positif oleh ahli matematik: lawan jam. Nombor -i menerangkan putaran ke arah penunjuk bergerak.

Tetapi adakah nombor seperti i dan -i wujud? Adakah! Kami hanya menghidupkan mereka. Saya sedang mendengar? Bahawa mereka hanya wujud dalam kepala kita? Nah, apa yang diharapkan? Semua nombor lain juga hanya wujud dalam fikiran kita. Kita perlu melihat sama ada nombor baru lahir kita masih hidup. Lebih tepat lagi, sama ada reka bentuk itu logik dan sama ada ia berguna untuk sesuatu. Sila ambil kata saya bahawa semuanya adalah teratur dan nombor baharu ini sangat membantu. Nombor seperti 3+i, 5-7i, lebih umum: a+bi dipanggil nombor kompleks. Saya menunjukkan kepada anda bagaimana anda boleh mendapatkannya dengan memutarkan pesawat. Mereka boleh dimasukkan dengan cara yang berbeza: sebagai titik dalam satah, sebagai beberapa polinomial, sebagai beberapa jenis tatasusunan berangka ... dan setiap kali ia adalah sama: persamaan x² +1=0 tiada unsur... hocus pocus sudah ada!!!! Mari bergembira dan bergembira!!!

Tamat lawatan

Ini mengakhiri lawatan pertama kami ke negara nombor palsu. Daripada nombor tidak wajar yang lain, saya juga akan menyebut nombor yang mempunyai nombor tidak terhingga digit di hadapan, dan bukan di belakang (ia dipanggil 10-adic, bagi kami p-adic lebih penting, di mana p ialah nombor perdana), untuk contoh X = … … … 96109004106619977392256259918212890625

Tolong kira X². Kerana? Bagaimana jika kita mengira kuasa dua nombor diikuti dengan nombor digit yang tidak terhingga? Baik, mari kita lakukan perkara yang sama. Kami tahu bahawa x² = X.

Mari cari satu lagi nombor sedemikian dengan bilangan digit yang tidak terhingga di hadapan yang memenuhi persamaan. Petunjuk: kuasa dua nombor yang berakhir dengan enam juga berakhir dengan enam. Kuasa dua nombor yang berakhir dengan 76 juga berakhir dengan 76. Kuasa dua nombor yang berakhir dengan 376 juga berakhir dengan 376. Kuasa dua nombor yang berakhir dengan 9376 juga berakhir dengan 9376. Kuasa dua nombor yang berakhir dengan XNUMX pada… Terdapat juga nombor yang sangat kecil sehingga, sebagai positif, ia kekal lebih kecil daripada mana-mana nombor positif lain. Mereka sangat kecil sehingga kadang-kadang cukup untuk menduakannya untuk mendapatkan sifar. Terdapat nombor yang tidak memenuhi syarat a × b = b × a. Terdapat juga nombor yang tidak terhingga. Berapakah bilangan asli yang ada? Banyak tak terhingga? Ya, tetapi berapa banyak? Bagaimanakah ini boleh dinyatakan sebagai nombor? Jawapan: terkecil daripada nombor tak terhingga; ia ditandakan dengan huruf yang indah: A dan ditambah dengan indeks sifar A₀ , aleph-sifar.

Terdapat juga nombor yang kita tidak tahu wujud... atau anda boleh percaya atau tidak percaya sesuka hati. Dan bercakap tentang perkara seperti itu: Saya harap anda masih menyukai Nombor Unreal, Nombor Spesies Fantasi.