Sifir dan pengintip

Dalam Sudut Matematik hari ini, saya akan melihat topik yang saya bincangkan di Kem Sains tahunan Yayasan Kanak-kanak Kebangsaan untuk kanak-kanak. Yayasan ini sedang mencari kanak-kanak dan belia yang mempunyai minat saintifik. Anda tidak perlu sangat berbakat, tetapi anda perlu mempunyai "coretan saintifik." Gred sekolah yang sangat baik tidak diperlukan. Cubalah, anda mungkin menyukainya. Jika anda seorang pelajar sekolah rendah atau sekolah menengah senior, mohon. Biasanya ibu bapa atau sekolah membuat laporan, tetapi ini tidak selalu berlaku. Cari laman web Yayasan dan ketahui.

Semakin banyak cakap-cakap di sekolah tentang "pengekodan", merujuk kepada aktiviti yang dahulunya dikenali sebagai "pengaturcaraan". Ini adalah prosedur biasa untuk pendidik teori. Mereka menggali kaedah lama, memberi mereka nama baru, dan "kemajuan" dibuat dengan sendirinya. Terdapat beberapa kawasan di mana fenomena kitaran sedemikian berlaku.

Boleh disimpulkan bahawa saya menurunkan nilai didaktik. Tidak. Dalam perkembangan tamadun, kadangkala kita kembali kepada apa yang dahulu, ditinggalkan dan kini dihidupkan semula. Tetapi sudut kami adalah matematik, bukan falsafah.

Kepunyaan komuniti tertentu juga bermaksud "simbol biasa", bacaan biasa, pepatah dan perumpamaan. Orang yang mempelajari bahasa Poland dengan sempurna "ada belukar besar di Szczebrzeszyn, kumbang berdengung di buluh" akan segera terdedah sebagai pengintip negara asing jika dia tidak menjawab soalan tentang apa yang dilakukan oleh burung belatuk itu. Sudah tentu dia sesak nafas!

Ini bukan gurauan semata-mata. Pada Disember 1944, Jerman melancarkan serangan terakhir mereka di Ardennes dengan perbelanjaan yang besar. Mereka menggerakkan tentera yang fasih berbahasa Inggeris untuk mengganggu pergerakan tentera bersekutu, contohnya dengan membawa mereka ke arah yang salah di persimpangan jalan. Selepas terkejut seketika, orang Amerika mula bertanya kepada tentera soalan-soalan yang mencurigakan, jawapannya akan jelas kepada seseorang dari Texas, Nebraska atau Georgia dan tidak dapat dibayangkan oleh seseorang yang tidak dibesarkan di sana. Kejahilan tentang realiti membawa langsung kepada pelaksanaan.

Sampai ke tahap. Saya mengesyorkan kepada pembaca buku oleh Lukasz Badowski dan Zaslaw Adamashek "Makmal dalam Laci Meja - Matematik". Ini adalah buku hebat yang menunjukkan dengan cemerlang bahawa matematik benar-benar berguna untuk sesuatu dan bahawa "percubaan matematik" bukanlah perkataan kosong. Ia termasuk, antara lain, pembinaan yang diterangkan tentang "enigma kadbod" - peranti yang akan membawa kita hanya lima belas minit untuk mencipta dan yang berfungsi seperti mesin sifir yang serius. Idea itu sendiri sangat terkenal, pengarang yang disebutkan telah menyelesaikannya dengan cantik, dan saya akan mengubahnya sedikit dan membungkusnya dengan pakaian yang lebih matematik.

gergaji besi

Di salah satu jalan di kampung dacha saya di pinggir bandar Warsaw, turapan baru-baru ini dibongkar daripada "trlinka" - papak turapan heksagon. Perjalanan itu tidak selesa, tetapi jiwa ahli matematik itu bergembira. Meliputi satah dengan poligon biasa (iaitu biasa) bukanlah mudah. Ia hanya boleh menjadi segi tiga, segi empat sama dan heksagon biasa.

Mungkin saya bergurau sedikit dengan kegembiraan rohani ini, tetapi heksagon adalah sosok yang cantik. Daripadanya anda boleh membuat peranti penyulitan yang agak berjaya. Geometri akan membantu. Heksagon mempunyai simetri putaran - ia bertindih sendiri apabila diputar dengan gandaan 60 darjah. Medan ditanda, sebagai contoh, dengan huruf A di kiri atas ara. 1 selepas membelok sudut ini, ia juga akan jatuh ke dalam kotak A - dan sama dengan huruf lain. Jadi mari kita potong enam petak dari grid, setiap satu dengan huruf yang berbeza. Kami meletakkan grid yang diperoleh dengan cara ini pada sehelai kertas. Dalam enam medan percuma, masukkan enam huruf teks yang ingin kami enkripsi. Mari kita putar helaian 60 darjah. Enam medan baharu akan muncul - masukkan enam huruf seterusnya mesej kami.

nasi. 1. Trlinks kegembiraan matematik.

Ke kanan ara. 1 kami mempunyai teks yang dikodkan dengan cara ini: "Terdapat lokomotif wap berat yang besar di stesen."

Sekarang sedikit matematik sekolah akan berguna. Dalam berapa banyak cara dua nombor boleh disusun secara relatif antara satu sama lain?

Soalan bodoh apa? Untuk dua: sama ada satu di hadapan atau yang lain.

baiklah. Dan tiga nombor?

Ia juga tidak sukar untuk menyenaraikan semua tetapan:

123, 132, 213, 231, 312, 321.

Nah, ia untuk empat! Ia masih boleh dinyatakan dengan jelas. Teka peraturan pesanan yang saya letakkan:

1234, 1243, 1423, 4123, 1324, 1342,

1432, 4132, 2134, 2143, 2413, 4213,

2314, 2341, 2431, 4231, 3124, 3142,

3412, 4312, 3214, 3241, 3421, 4321

Apabila digit adalah lima, kami mendapat 120 tetapan yang mungkin. Jom panggil mereka pilih atur. Bilangan pilih atur yang mungkin bagi n nombor ialah hasil darab 1 2 3 ... n, dipanggil kuat dan ditanda dengan tanda seru: 3!=6, 4!=24, 5!=120. Untuk nombor 6 seterusnya kita ada 6!=720. Kami akan menggunakan ini untuk menjadikan perisai sifir heksagon kami lebih kompleks.

Kami memilih pilih atur nombor dari 0 hingga 5, contohnya 351042. Cakera heksagon scrambling kami mempunyai sempang di medan tengah - supaya ia boleh diletakkan "dalam kedudukan sifar" - sengkang ke atas, seperti dalam rajah. 1. Kami meletakkan cakera dengan cara ini pada helaian kertas di mana kami perlu menulis laporan kami, tetapi kami tidak menulisnya serta-merta, tetapi pusingkannya tiga kali sebanyak 60 darjah (iaitu 180 darjah) dan masukkan enam huruf dalam padang yang kosong. Kami kembali ke kedudukan permulaan. Kami memusingkan dail lima kali sebanyak 60 darjah, iaitu dengan lima "gigi" dail kami. Kami cetak. Kedudukan skala seterusnya ialah kedudukan yang diputar 60 darjah sekitar sifar. Kedudukan keempat ialah 0 darjah, ini adalah kedudukan permulaan.

Adakah anda faham apa yang berlaku? Kami mempunyai peluang tambahan - untuk merumitkan "mesin" kami lebih daripada tujuh ratus kali ganda! Jadi, kita mempunyai dua kedudukan bebas "automaton" - pilihan grid dan pilihan pilih atur. Grid boleh dipilih dalam 66 = 46656 cara, pilih atur 720. Ini memberikan 33592320 kemungkinan. Lebih 33 juta sifir! Hampir kurang sedikit, kerana beberapa grid tidak boleh dipotong daripada kertas.

Di bahagian bawah ara. 1 kami mempunyai mesej berkod seperti ini: "Saya menghantar empat bahagian payung terjun kepada anda." Adalah mudah untuk memahami bahawa musuh tidak boleh dibenarkan mengetahui tentang perkara ini. Tetapi adakah dia akan memahami semua ini:

ТПОРОПВМАНВЕОРДИЗЗ

YYLOAKVMDEYCHESH,

walaupun dengan tandatangan 351042?

Kami sedang membina Enigma, mesin sifir Jerman

nasi. 2. Contoh persediaan awal mesin penyulitan kami.

Pilih atur (AF) (BJ) (CL) (DW) (EI) (GT) (HO) (KS) (MX) (NU) (PZ) (RY).

Seperti yang telah saya nyatakan, saya berhutang idea untuk mencipta mesin kadbod sedemikian kepada buku "Makmal dalam Laci - Matematik". "Pembinaan" saya agak berbeza daripada yang diberikan oleh pengarangnya.

Mesin sifir yang digunakan oleh orang Jerman semasa perang mempunyai prinsip yang sangat mudah, agak serupa dengan yang kita lihat dengan sifir hex. Setiap kali perkara yang sama: memecahkan tugasan keras surat ke surat lain. Ia mesti boleh diganti. Bagaimana untuk melakukannya untuk mengawalnya?

Mari kita memilih bukan sebarang pilihatur, tetapi satu yang mempunyai kitaran panjang 2. Ringkasnya, sesuatu seperti "Gaderipoluk" yang diterangkan di sini beberapa bulan yang lalu, tetapi meliputi semua huruf abjad. Mari kita bersetuju dengan 24 huruf - tanpa ą, ę, ć, ó, ń, ś, ó, ż, ź, v, q. Berapa banyak pilih atur sedemikian? Ini adalah tugas untuk lepasan sekolah menengah (mereka sepatutnya dapat menyelesaikannya dengan segera). Berapa banyak? Banyak? Beberapa ribu? ya:

1912098225024001185793365052108800000000 (kita tak cuba pun baca nombor ni). Terdapat begitu banyak kemungkinan untuk menetapkan kedudukan "sifar". Dan ia boleh menjadi sukar.

Mesin kami terdiri daripada dua cakera bulat. Pada salah satu daripadanya, yang masih berdiri, tertulis surat. Ia agak seperti dail telefon lama, di mana anda mendail nombor dengan memusingkan dail sepanjang jalan. Rotary adalah yang kedua dengan skema warna. Cara paling mudah ialah meletakkannya pada gabus biasa menggunakan pin. Daripada gabus, anda boleh menggunakan papan nipis atau kadbod tebal. Lukasz Badowski dan Zasław Adamaszek mengesyorkan meletakkan kedua-dua cakera dalam kotak CD.

Bayangkan kita mahu mengekod perkataan ARMATI (nasi. 2 dan 3). Tetapkan peranti kepada kedudukan sifar (anak panah ke atas). Huruf A sepadan dengan F. Putar litar dalaman satu huruf ke kanan. Kami mempunyai huruf R untuk mengekod, kini ia sepadan dengan A. Selepas putaran seterusnya, kita melihat bahawa huruf M sepadan dengan U. Putaran seterusnya (rajah keempat) memberikan surat-menyurat A - P. Pada dail kelima kita mempunyai T - A. Akhirnya (bulatan keenam ) Y – Y Musuh mungkin tidak akan meneka bahawa CFCFA kita akan berbahaya baginya. Dan bagaimanakah "milik kita" akan membaca penghantaran itu? Mereka mesti mempunyai mesin yang sama, "diprogramkan" yang sama, iaitu, dengan pilih atur yang sama. Sifir bermula pada kedudukan sifar. Jadi nilai F ialah A. Pusingkan dail mengikut arah jam. Huruf A kini dikaitkan dengan R. Dia memusingkan dail ke kanan dan di bawah huruf U menemui M, dsb. Kerani sifir berlari kepada jeneral: "Jeneral, saya melaporkan, senjata akan datang!"

nasi. 3. Prinsip operasi kertas kami Enigma.

nasi. 3. Prinsip operasi kertas kami Enigma.

Kemungkinan Enigma primitif seperti itu sangat mengagumkan. Kita boleh memilih pilih atur keluaran lain. Kita boleh - dan terdapat lebih banyak peluang di sini - bukan dengan satu "serif" secara berkala, tetapi dalam susunan perubahan harian tertentu, serupa dengan heksagon (contohnya, tiga huruf pertama, kemudian tujuh, kemudian lapan, empat ... .. dll. .).

Bagaimana anda boleh meneka?! Namun untuk ahli matematik Poland (Marian Reevski, Henryk Zigalski, Jerzy Ruzicki) berlaku. Maklumat yang diperolehi adalah tidak ternilai. Sebelum ini, mereka mempunyai sumbangan yang sama penting dalam sejarah pertahanan kita. Vaclav Serpinski i Stanislav Mazurkevichyang melanggar kod tentera Rusia pada tahun 1920. Kabel yang dipintas memberi peluang kepada Piłsudski untuk membuat gerakan terkenal dari Sungai Vepsz.

Saya masih ingat Vaslav Sierpinski (1882-1969). Dia kelihatan seperti seorang ahli matematik yang dunia luar tidak wujud. Dia tidak boleh bercakap tentang penyertaannya dalam kemenangan pada tahun 1920 untuk ketenteraan dan ... atas sebab politik (pihak berkuasa Republik Rakyat Poland tidak menyukai mereka yang mempertahankan kami dari Kesatuan Soviet).

nasi. 4. Pilihatur (AP) (BF) (CM) (DS) (EW) (GY) (HK) (IU) (JX) (LZ) (NR) (OT).

nasi. 5. Hiasan yang cantik, tetapi tidak sesuai untuk penyulitan. Terlalu kerap.

Kerja 1. Na ara. 4 anda mempunyai pilih atur lain untuk mencipta Enigma. Salin lukisan ke xerograf. Bina kereta, kodkan nama pertama dan nama keluarga anda. CWONUE JTRYGT saya. Jika anda perlu merahsiakan nota anda, gunakan Cardboard Enigma.

Kerja 2. Sulitkan nama dan nama keluarga anda salah satu daripada "kereta" yang anda lihat, tetapi (perhatian!) dengan komplikasi tambahan: kami tidak membelok satu takuk ke kanan, tetapi mengikut skema {1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1, ....} - iaitu, pertama dengan satu, kemudian dengan dua, kemudian dengan tiga, kemudian dengan 2, kemudian sekali lagi dengan 1, kemudian dengan 2, dll., "wavelet" sedemikian . Pastikan nama pertama dan keluarga saya disulitkan sebagai CZTTAK SDBITH. Sekarang adakah anda faham betapa berkuasanya mesin Enigma itu?

Penyelesaian masalah untuk lepasan sekolah menengah. Berapa banyak pilihan konfigurasi untuk Enigma (dalam versi ini, seperti yang diterangkan dalam artikel)? Kami mempunyai 24 surat. Kami memilih pasangan huruf pertama - ini boleh dilakukan pada

cara. Pasangan seterusnya boleh dipilih pada

cara, banyak lagi

dan lain-lain. Selepas pengiraan yang sepadan (semua nombor mesti didarab), kita dapat

151476660579404160000

Kemudian bahagikan nombor itu dengan 12! (12 faktorial), kerana pasangan yang sama boleh diperolehi dalam susunan yang berbeza. Jadi pada akhirnya kita mendapat "total"

316234143225,

itu hanya lebih 300 bilion, yang tidak kelihatan seperti jumlah yang sangat besar untuk superkomputer hari ini. Walau bagaimanapun, jika susunan rawak pilih atur itu sendiri diambil kira, bilangan ini meningkat dengan ketara. Kita juga boleh memikirkan jenis pilih atur lain.

Lihat juga: