Artikel tentang apa-apa

Sebagai seorang kanak-kanak, saya terpesona dengan cerita, mungkin diketahui oleh ramai pembaca, tentang "sup pada kuku." Nenek saya (abad ke-XNUMX kelahiran) memberitahu saya ini dalam versi "The Cossack datang dan meminta air, kerana dia mempunyai paku dan dia akan memasak sup di atasnya." Nyonya rumah yang ingin tahu memberinya seperiuk air... dan kita tahu apa yang berlaku seterusnya: "sup harus masin, daitye, nenek, garam", kemudian dia mencuci daging "untuk meningkatkan rasa" dan seterusnya. Akhirnya, dia membuang paku "rebus".

Jadi artikel ini sepatutnya mengenai kekosongan ruang - dan ini mengenai pendaratan peralatan Eropah pada komet 67P / Churyumov-Gerasimenko pada 12 November 2014. Tetapi semasa menulis, saya menyerah kepada tabiat lama, Saya masih seorang ahli matematik. Bagaimana dengan Sukaс Sifar matematik?

Bagaimana Tiada apa-apa wujud?

Tidak boleh dikatakan Tiada apa-apa. Ia wujud sekurang-kurangnya sebagai konsep falsafah, matematik, agama dan sepenuhnya bahasa sehari-hari. Sifar ialah nombor biasa, sifar darjah pada termometer juga merupakan suhu, dan baki sifar dalam bank adalah kejadian yang tidak menyenangkan tetapi biasa. Perhatikan bahawa tidak ada tahun sifar dalam kronologi, dan ini kerana sifar telah diperkenalkan ke dalam matematik hanya pada akhir Zaman Pertengahan, lebih lewat daripada kronologi yang dicadangkan oleh sami Dionysius (abad XNUMXth).

Anehnya, kita benar-benar boleh melakukannya tanpa sifar ini dan, oleh itu, tanpa nombor negatif. Dalam salah satu buku teks tentang logik, saya dapati latihan: lukis atau katakan bagaimana anda membayangkan ketiadaan ikan. Luar biasa, bukan? Sesiapa sahaja boleh melukis ikan, tetapi tidak seekor?

Sekarang secara ringkas kursus asas matematik. Memberi keistimewaan kewujudan kepada set kosong yang ditandakan dengan bulatan berpalang ∅ adalah prosedur yang perlu dianalogikan dengan menambah sifar pada set nombor. Set kosong adalah satu-satunya set yang tidak mengandungi sebarang unsur. Koleksi sedemikian:

Tetapi tidak ada dua set kosong yang berbeza. Set kosong disertakan dalam setiap set lain:

Sesungguhnya, peraturan logik matematik mengatakan bahawa set A terkandung dalam set B jika dan hanya jika ayat:

ia melibatkan

Dalam kes set kosong ∅, proposisi sentiasa palsu, dan oleh itu, mengikut undang-undang logik, implikasi secara amnya benar. Segala-galanya berpunca dari pembohongan ("di sini saya akan menanam kaktus jika anda berpindah ke kelas seterusnya ..."). Oleh itu, oleh kerana set kosong terkandung dalam setiap yang lain, maka jika mereka adalah dua yang berbeza, setiap daripada mereka akan terkandung dalam yang lain. Walau bagaimanapun, jika dua set terkandung dalam satu sama lain, ia adalah sama. Itulah sebabnya: hanya ada satu set kosong!

Postulat kewujudan set kosong tidak bercanggah dengan mana-mana undang-undang matematik, jadi mengapa tidak menghidupkannya? Prinsip falsafah dipanggilpisau cukur Occam» Perintah untuk mengecualikan konsep yang tidak perlu, tetapi tepat konsep set kosong sangat berguna dalam matematik. Ambil perhatian bahawa set kosong mempunyai dimensi -1 (tolak satu) - elemen sifar dimensi ialah titik dan sistem jarang mereka, elemen satu dimensi ialah garis, dan kita bercakap tentang unsur matematik yang sangat kompleks dengan dimensi fraktal dalam bab tentang fraktal .

Adalah menarik bahawa keseluruhan binaan matematik: nombor, nombor, fungsi, operator, kamiran, pembezaan, persamaan ... boleh diperoleh daripada satu konsep - set kosong! Ia cukup untuk mengandaikan bahawa terdapat set kosong, elemen yang baru dicipta boleh digabungkan menjadi set untuk dapat membina semua matematik. Beginilah cara ahli logik Jerman Gottlob Frege membina nombor asli. Sifar ialah kelas set yang unsur-unsurnya berada dalam korespondensi bersama dengan unsur-unsur set kosong. Satu ialah kelas set yang unsur-unsurnya berada dalam korespondensi bersama dengan unsur-unsur set yang satu-satunya elemen ialah set kosong. Dua ialah kelas set yang unsur-unsurnya adalah satu-dengan-satu dengan unsur-unsur set terdiri daripada set kosong dan set yang satu-satunya elemen ialah set kosong... dan seterusnya. Pada pandangan pertama, ini nampaknya sesuatu yang sangat rumit, tetapi sebenarnya tidak.

Biru tersebar di atas saya

berbau heather dan berbau pudina...

Wojciech Mlynarski, Gadis Penuaian

Sukar untuk dibayangkan

Tiada apa yang sukar untuk dibayangkan. Dalam cerita Stanisław Lem "Bagaimana Dunia Diselamatkan", pereka Trurl membina mesin yang akan melakukan segala-galanya bermula dengan huruf. Apabila Klapaucius mengarahkannya dibina Nic, mesin itu mula mengeluarkan pelbagai objek dari dunia - dengan matlamat utama untuk mengalih keluar segala-galanya. Pada masa Klapaucius yang ketakutan memberhentikan kereta, galleys, yews, hanging, hacks, rhymes, beaters, pouf, grinders, lidi, philidrons dan frosts telah hilang dari dunia selama-lamanya. Dan sesungguhnya, mereka hilang selama-lamanya ...

Józef Tischner menulis dengan sangat baik tentang ketiadaan dalam History of Mountain Philosophy. Semasa percutian terakhir saya, saya memutuskan untuk mengalami ketiadaan ini, iaitu, saya pergi ke paya gambut antara Nowy Targ dan Jabłonka di Podhale. Kawasan ini juga dipanggil Pustachia. Anda pergi, anda pergi, tetapi jalan tidak berkurangan - sudah tentu, pada skala Poland kami yang sederhana. Suatu hari saya menaiki bas di wilayah Saskatchewan, Kanada. Di luar terdapat ladang jagung. Saya tidur sebentar selama setengah jam. Apabila saya tersedar, kami memandu melalui ladang jagung yang sama... Tetapi tunggu, adakah ini kosong? Dari satu segi, ketiadaan perubahan hanyalah kekosongan.

Kami terbiasa dengan kehadiran berterusan pelbagai objek di sekeliling kita, dan dari Sesuatu anda tidak boleh lari walaupun dengan mata anda tertutup. "Saya fikir, oleh itu saya," kata Descartes. Jika saya telah memikirkan sesuatu, maka saya wujud, yang bermaksud bahawa sekurang-kurangnya ada sesuatu di dunia (iaitu, saya). Adakah apa yang saya fikirkan wujud? Ini boleh dibincangkan, tetapi dalam mekanik kuantum moden, prinsip Heisenberg diketahui: setiap pemerhatian mengganggu keadaan objek yang diperhatikan. Sehingga kita melihatnya Nic ia tidak wujud, dan apabila kita mula melihat, objek itu tidak lagi menjadi Suka dan ia menjadi Sesuatu. Ia semakin tidak masuk akal prinsip antropik: Tidak ada gunanya kita bertanya bagaimana keadaan dunia jika kita tidak wujud. Dunia adalah apa yang kita nampak. Mungkin makhluk lain akan melihat Bumi sebagai sudut?

Positron (elektron positif seperti itu) ialah lubang di angkasa, "tiada elektron." Dalam proses penghapusan, elektron melompat ke dalam lubang ini dan "tiada apa yang berlaku" - tidak ada lubang, tiada elektron. Saya akan melangkau banyak jenaka tentang lubang dalam keju Swiss ("semakin banyak yang saya ada, semakin sedikit di sana ..."). Komposer terkenal John Cage telah menggunakan idea-ideanya sehingga dia mengarang (?) sekeping muzik (?) di mana orkestra duduk tanpa bergerak selama 4 minit 33 saat dan, sudah tentu, tidak memainkan apa-apa. "Empat minit tiga puluh tiga saat ialah dua ratus tujuh puluh tiga, 273, dan tolak 273 darjah adalah sifar mutlak, di mana semua pergerakan berhenti," jelas komposer (?).

Tapis kepada sifar, tiada, samaran, samaran, tiada, sifar!

Jerzy dalam filem Andrzej Wajda Over the Years,

hari berlalu"

Bagaimana dengan semua orang?

Ramai orang (dari petani sederhana hingga ahli falsafah terkemuka) tertanya-tanya tentang fenomena kewujudan. Dalam matematik, keadaannya mudah: ada sesuatu yang konsisten.

Dia menghilang ke dalam ladang pinggir

Dalam bunga jagung, lalang dan mulut singa ...

Nah, perkara seperti ini berlaku

Terutama pada musim menuai, dan semasa musim menuai

terutamanya…

Wojciech Mlynarski, Gadis Penuaian

Segala-galanya adalah melampaui Nothing. Dalam matematik, kita tahu itu Semuanya tidak wujud. Hanya tanggapan yang terlalu tidak tepat bahawa kewujudannya akan bebas daripada kontroversi. Ini boleh difahami dengan contoh paradoks lama: "Jika Tuhan maha berkuasa, maka ciptakan batu untuk diambil?" Bukti matematik bahawa tidak boleh ada set semua set adalah berdasarkan teorem penyanyi-Bershtein, yang mengatakan bahawa "nombor tak terhingga" (matematik: nombor kardinal) set semua ahli set yang diberikan adalah lebih besar daripada bilangan unsur set ini.

Jika satu set mempunyai elemen, maka ia mempunyai 2ⁿ subset; contohnya, apabila = 3 dan set terdiri daripada {1, 2, 3}, maka subset berikut wujud:

• tiga set dua elemen: setiap daripadanya kehilangan satu daripada nombor 1, 2, 3,
• satu set kosong,
• tiga set satu elemen,
• keseluruhan set {1,2,3}

- hanya lapan, 2³Dan pembaca yang baru menamatkan pengajian dari sekolah, saya ingin mengingati formula yang sepadan:

Setiap simbol Newton dalam formula ini menentukan bilangan set elemen k dalam set elemen.

Dalam matematik, pekali binomial muncul di banyak tempat lain, seperti dalam formula menarik untuk pendaraban yang dikurangkan:

dan dari bentuk tepat mereka, saling bergantungan mereka jauh lebih menarik.

Sukar untuk memahami apa - setakat logik dan matematik - dan apa yang semuanya tidak. Hujah untuk tidak wujud Sama seperti Winnie the Pooh, yang dengan sopan bertanya pada tetamunya, Harimau, adakah Harimau sukakan madu, acorn dan duri? "Harimau suka segala-galanya," jawab orang yang Kubus menyimpulkan bahawa jika mereka suka segala-galanya, maka mereka juga suka tidur di atas lantai, oleh itu, dia, Vinnie, boleh kembali ke katil.

Hujah lain Paradoks Russell. Terdapat seorang tukang gunting rambut di bandar yang mencukur semua lelaki yang tidak bercukur sendiri. Adakah dia mencukur dirinya sendiri? Kedua-dua jawapan itu bercanggah dengan syarat yang dikemukakan bahawa mereka, dan hanya mereka yang tidak melakukannya sendiri akan disembelih.

Mencari koleksi semua koleksi

Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan bukti yang bijak, tetapi kebanyakan matematik bahawa tidak ada set semua set (jangan dikelirukan dengannya).

Pertama, kami akan menunjukkan bahawa untuk mana-mana set X yang tidak kosong, adalah mustahil untuk mencari fungsi yang saling unik yang memetakan set ini kepada set subsetnya P(X). Jadi mari kita anggap bahawa fungsi ini wujud. Mari kita nyatakan dengan f tradisional. Apakah f daripada x? Ini adalah koleksi. Adakah xf tergolong dalam x? Ini tidak diketahui. Sama ada anda perlu atau tidak. Tetapi bagi sesetengah x ia mesti masih sedemikian rupa sehingga ia bukan milik f daripada x. Nah, kemudian pertimbangkan set semua x yang mana x bukan milik f(x). Nyatakan ia (set ini) dengan A. Ia sepadan dengan beberapa unsur a set X. Adakah a tergolong dalam A? Mari kita andaikan anda sepatutnya. Tetapi A ialah satu set yang mengandungi hanya unsur-unsur x yang bukan milik f(x) ... Nah, mungkin ia bukan milik A? Tetapi set A mengandungi semua elemen harta ini, dan oleh itu juga A. Akhir pembuktian.

Oleh itu, jika terdapat satu set semua set, ia sendiri akan menjadi subset dari dirinya sendiri, yang tidak mungkin mengikut alasan sebelumnya.

Fuh, saya rasa tidak ramai pembaca yang melihat bukti ini. Sebaliknya, saya membawanya untuk menunjukkan apa yang perlu dilakukan oleh ahli matematik pada akhir abad kesembilan belas, apabila mereka mula mengkaji asas sains mereka sendiri. Ternyata masalah terletak di mana tiada siapa yang mengharapkannya. Lebih-lebih lagi, untuk keseluruhan matematik, penaakulan tentang asas ini tidak penting: tidak kira apa yang berlaku di bilik bawah tanah - seluruh bangunan matematik berdiri di atas batu yang kukuh.

Sementara itu, di bahagian atas...

Kami perhatikan satu lagi moral daripada kisah Stanislav Lem. Dalam salah satu pengembaraannya, Iyon Tichi mencapai sebuah planet yang penduduknya, selepas evolusi yang lama, akhirnya mencapai tahap pembangunan tertinggi. Mereka semua kuat, mereka boleh melakukan apa sahaja, mereka mempunyai segala-galanya di hujung jari mereka… dan mereka tidak melakukan apa-apa. Mereka berbaring di atas pasir dan menuangkannya di antara jari mereka. "Jika semuanya boleh, ia tidak berbaloi," mereka menjelaskan kepada Ijon yang terkejut. Semoga ini tidak berlaku kepada tamadun Eropah kita...