JADI KEPADA SIAPA, iaitu: CUBA DI MANA ANDA BOLEH - bahagian 2

Dalam episod sebelumnya, kami telah membincangkan Sudoku, permainan aritmetik di mana nombor pada asasnya disusun dalam pelbagai rajah mengikut peraturan tertentu. Varian yang paling biasa ialah papan catur 9×9, tambahan pula dibahagikan kepada sembilan sel 3×3. Nombor dari 1 hingga 9 mesti ditetapkan padanya supaya ia tidak berulang sama ada dalam baris menegak (ahli matematik berkata: dalam lajur) atau dalam baris mendatar (ahli matematik berkata: dalam baris) - dan, lebih-lebih lagi, supaya mereka tidak mengulangi. ulang dalam mana-mana petak yang lebih kecil.

Na ara. 1 kami melihat teka-teki ini dalam versi yang lebih mudah, iaitu segi empat sama 6 × 6 dibahagikan kepada segi empat tepat 2 × 3. Kami memasukkan nombor 1, 2, 3, 4, 5, 6 ke dalamnya - supaya ia tidak berulang secara menegak, tidak juga secara mendatar, mahupun dalam setiap heksagon yang dipilih.

Mari cuba ditunjukkan di petak atas. Bolehkah anda mengisinya dengan nombor dari 1 hingga 6 mengikut peraturan yang ditetapkan untuk permainan ini? Ia mungkin - tetapi samar-samar. Mari lihat - lukis petak di sebelah kiri atau petak di sebelah kanan.

Kita boleh mengatakan bahawa ini bukan asas untuk teka-teki. Kami biasanya menganggap bahawa teka-teki mempunyai satu penyelesaian. Tugas mencari pangkalan yang berbeza untuk Sudoku "besar", 9x9, adalah tugas yang sukar dan tidak ada peluang untuk menyelesaikannya sepenuhnya.

Satu lagi sambungan penting ialah sistem bercanggah. Petak tengah bawah (yang bernombor 2 di sudut kanan bawah) tidak boleh dilengkapkan. kenapa?

Keseronokan dan Retreat

Kami bermain. Mari gunakan intuisi kanak-kanak. Mereka percaya bahawa hiburan adalah pengenalan kepada pembelajaran. Mari pergi ke angkasa lepas. dihidupkan ara. 2 semua orang melihat grid tetrahedrondaripada bola, contohnya, bola ping-pong? Mengimbas kembali pelajaran geometri sekolah. Warna di sebelah kiri gambar menerangkan perkara yang dilekatkan semasa memasang blok. Khususnya, tiga bola sudut (merah) akan dilekatkan menjadi satu. Oleh itu, mereka mestilah nombor yang sama. Mungkin 9. Kenapa? Dan kenapa tidak?

Oh saya tidak mengutarakannya tugas. Bunyinya seperti ini: adakah mungkin untuk menulis nombor dari 0 hingga 9 dalam grid yang boleh dilihat supaya setiap muka mengandungi semua nombor? Tugas itu tidak sukar, tetapi berapa banyak yang anda perlu bayangkan! Saya tidak akan merosakkan keseronokan pembaca dan tidak akan memberikan penyelesaian.

Ini adalah bentuk yang sangat cantik dan dipandang remeh. oktahedron biasa, dibina daripada dua piramid (=piramid) dengan tapak segi empat sama. Seperti namanya, oktahedron mempunyai lapan muka.

Terdapat enam bucu dalam oktahedron. Ia bercanggah kubusyang mempunyai enam muka dan lapan bucu. Tepi kedua-dua ketulan adalah sama - dua belas setiap satu. ini pepejal berganda - ini bermakna bahawa dengan menyambungkan pusat muka kubus kita mendapat oktahedron, dan pusat muka oktahedron akan memberi kita kubus. Kedua-dua benjolan ini berprestasi ("kerana mereka perlu") Formula Euler: Jumlah bilangan bucu dan bilangan muka adalah 2 lebih daripada bilangan tepi.

3. Satu oktahedron sekata dalam unjuran selari dan satu kekisi oktahedron terdiri daripada sfera sedemikian rupa sehingga setiap tepi mempunyai empat sfera.

Kerja 1. Mula-mula, tulis ayat terakhir perenggan sebelumnya menggunakan formula matematik. Pada ara. 3 anda melihat grid oktahedral, juga terdiri daripada sfera. Setiap tepi mempunyai empat bola. Setiap muka adalah segitiga sepuluh sfera. Masalahnya ditetapkan secara bebas: adakah mungkin untuk meletakkan nombor dari 0 hingga 9 dalam bulatan grid supaya selepas melekatkan badan pepejal, setiap dinding mengandungi semua nombor (ia mengikutinya tanpa pengulangan). Seperti sebelum ini, kesukaran yang paling besar dalam tugasan ini ialah bagaimana mesh berubah menjadi badan pepejal. Saya tidak boleh menerangkannya secara bertulis, jadi saya tidak memberikan penyelesaiannya di sini sama ada.

4. Dua ikosahedron daripada bola ping-pong. Perhatikan skema warna yang berbeza.

sudah Plato (dan dia hidup pada abad ke-XNUMX-XNUMX SM) mengetahui semua polyhedra biasa: tetrahedron, kubus, oktahedron, demaэдр i icosahedron. Sungguh menakjubkan bagaimana dia sampai ke sana - tiada pensel, tiada kertas, tiada pen, tiada buku, tiada telefon pintar, tiada internet! Saya tidak akan bercakap tentang dodecahedron di sini. Tetapi sudoku icosahedral itu menarik. Kami melihat ketulan ini ilustrasi 4dan rangkaiannya rajah 5.

5. Jaringan biasa ikosahedron.

Seperti sebelum ini, ini bukan grid dalam erti kata yang kita ingat (?!) dari sekolah, tetapi cara melekatkan segitiga dari bola (bola).

Kerja 2. Berapa banyak bola yang diperlukan untuk membina ikosahedron sedemikian? Adakah alasan berikut masih berlaku: oleh kerana setiap muka ialah segi tiga, jika terdapat 20 muka, maka sebanyak 60 sfera diperlukan?

6. Grid ikosahedron daripada sfera. Setiap bulatan adalah, sebagai contoh, bola ping-pong, tetapi pembinaan bulatan pada bulatan yang ditandai dengan warna yang sama bergabung menjadi satu. Jadi kita mempunyai dua belas sfera (= dua belas bucu: merah, biru, ungu, biru dan lapan kuning).

Adalah mudah untuk melihat bahawa tiga nombor dalam icosahedron tidak mencukupi. Lebih tepat lagi: adalah mustahil untuk menghitung bucu dengan nombor 1, 2, 3 supaya setiap muka (segi tiga) mempunyai tiga nombor ini dan tiada ulangan. Adakah mungkin dengan empat nombor? Ya mungkin! Jom tengok nasi. 6 dan 7.

7. Berikut ialah cara menomborkan sfera yang membentuk ikosahedron supaya setiap muka mengandungi nombor selain daripada 1, 2, 3, 4. Manakah antara jasad dalam rajah. 4 berwarna seperti ini?

Kerja 3. Tiga daripada empat nombor boleh dipilih dalam empat cara: 123, 124, 134, 234. Cari lima segi tiga sedemikian dalam ikosahedron dalam rajah. 7 (serta daripada ilustrasi satu).

Latihan 4 (memerlukan imaginasi spatial yang sangat baik). Icosahedron mempunyai dua belas bucu, yang bermaksud ia boleh dilekatkan bersama dari dua belas bola (ara. 7). Ambil perhatian bahawa terdapat tiga bucu (=bola) yang dilabelkan dengan 1, tiga dengan 2, dan seterusnya. Oleh itu, bola dengan warna yang sama membentuk segitiga. Apakah segitiga ini? Mungkin sama sisi? Tengok lagi ilustrasi satu.

Tugas seterusnya untuk datuk / nenek dan cucu / cucu perempuan. Ibu bapa akhirnya boleh mencuba tangan mereka juga, tetapi mereka memerlukan kesabaran dan masa.

Kerja 5. Beli dua belas (sebaik-baiknya 24) bola pingpong, empat warna cat, berus dan gam yang betul - Saya tidak mengesyorkan bola cepat seperti Superglue atau Droplet kerana ia terlalu cepat kering dan berbahaya untuk kanak-kanak. Gam pada icosahedron. Pakai cucu perempuan anda dengan t-shirt yang akan dibasuh (atau dibuang) serta-merta selepas itu. Tutup meja dengan kerajang (sebaik-baiknya dengan surat khabar). Warnakan ikosahedron dengan berhati-hati dengan empat warna 1, 2, 3, 4, seperti ditunjukkan dalam rajah. ara. 7. Anda boleh menukar susunan - warnakan dahulu belon dan kemudian gamkannya. Pada masa yang sama, bulatan kecil mesti dibiarkan tidak dicat supaya cat tidak melekat pada cat.

Sekarang tugas yang paling sukar (lebih tepat, keseluruhan urutan mereka).

Latihan 6 (Lebih khusus, tema umum). Plot ikosahedron sebagai tetrahedron dan oktahedron pada nasi. 2 dan 3 Ini bermakna bahawa perlu ada empat bola pada setiap tepi. Dalam varian ini, tugas itu memakan masa dan juga mahal. Mari mulakan dengan mengetahui berapa banyak bola yang anda perlukan. Setiap muka mempunyai sepuluh sfera, jadi icosahedron memerlukan dua ratus? Tidak! Kita mesti ingat bahawa banyak bola yang dikongsi. Berapakah bilangan tepi yang ada pada ikosahedron? Ia boleh dikira dengan teliti, tetapi untuk apa formula Euler?

w–k+s=2

dengan w, k, s ialah bilangan bucu, tepi dan muka, masing-masing. Kami ingat bahawa w = 12, s = 20, yang bermaksud k = 30. Kami mempunyai 30 tepi ikosahedron. Anda boleh melakukannya secara berbeza, kerana jika terdapat 20 segi tiga, maka mereka hanya mempunyai 60 tepi, tetapi dua daripadanya adalah biasa.

Mari kita kira berapa banyak bola yang anda perlukan. Dalam setiap segi tiga hanya terdapat satu bola dalaman - tidak di bahagian atas badan kita, mahupun di tepi. Oleh itu, kami mempunyai sejumlah 20 bola sedemikian. Terdapat 12 puncak. Setiap tepi mempunyai dua bola bukan bucu (ia berada di dalam tepi, tetapi tidak di dalam muka). Oleh kerana terdapat 30 biji guli, terdapat 60 guli, tetapi dua daripadanya dikongsi, bermakna anda hanya memerlukan 30 guli, jadi anda memerlukan jumlah 20 + 12 + 30 = 62 guli. Bola boleh dibeli sekurang-kurangnya 50 sen (biasanya lebih mahal). Kalau tambah kos gam memang keluar...banyak. Ikatan yang baik memerlukan beberapa jam kerja yang teliti. Bersama-sama mereka sesuai untuk hobi yang santai - Saya mengesyorkan mereka daripada, sebagai contoh, menonton TV.

Berundur 1. Dalam siri filem Andrzej Wajda, Years, Days, dua lelaki bermain catur "kerana mereka terpaksa meluangkan masa sehingga makan malam." Ia berlaku di Galicia Krakow. Memang: surat khabar sudah dibaca (kemudian ada 4 muka surat), TV dan telefon belum dicipta, tiada perlawanan bola sepak. Kebosanan dalam lopak. Dalam keadaan sedemikian, orang ramai datang dengan hiburan untuk diri mereka sendiri. Hari ini kami mempunyainya selepas menekan alat kawalan jauh ...

Berundur 2. Pada mesyuarat Persatuan Guru Matematik 2019, seorang profesor Sepanyol menunjukkan program komputer yang boleh mengecat dinding pepejal dalam sebarang warna. Ia agak menyeramkan, kerana mereka hanya menarik tangan, hampir memotong badan. Saya berfikir kepada diri sendiri: berapa banyak keseronokan yang boleh anda perolehi daripada "teduhan" sedemikian? Semuanya mengambil masa dua minit, dan pada yang keempat kami tidak ingat apa-apa. Sementara itu, "kerja menjahit" kuno menenangkan dan mendidik. Siapa tak percaya, biar dia cuba.

Mari kita kembali ke abad ke-XNUMX dan kepada realiti kita. Jika kita tidak mahu kelonggaran dalam bentuk melekatkan bola yang susah payah, maka kita akan menarik sekurang-kurangnya grid icosahedron, tepinya mempunyai empat bola. Bagaimana hendak melakukannya? Cincang betul-betul rajah 6. Pembaca yang penuh perhatian sudah meneka masalahnya:

Kerja 7. Adakah mungkin untuk menghitung bola dengan nombor dari 0 hingga 9 supaya semua nombor ini muncul pada setiap muka ikosahedron sedemikian?

Untuk apa kita dibayar?

Hari ini kita sering bertanya kepada diri sendiri tentang tujuan aktiviti kita, dan "pembayar cukai kelabu" akan bertanya mengapa dia perlu membayar ahli matematik untuk menyelesaikan teka-teki sedemikian?

Jawapannya cukup mudah. "Teka-teki" sedemikian, menarik dalam diri mereka sendiri, adalah "serpihan sesuatu yang lebih serius." Lagipun, perarakan tentera hanyalah bahagian luar yang menakjubkan dari perkhidmatan yang sukar. Saya akan berikan hanya satu contoh, tetapi saya akan mulakan dengan subjek matematik yang pelik tetapi diiktiraf di peringkat antarabangsa. Pada tahun 1852, seorang pelajar Inggeris bertanya kepada profesornya sama ada boleh mewarnakan peta dengan empat warna supaya negara jiran sentiasa ditunjukkan dalam warna yang berbeza? Izinkan saya menambah bahawa kita tidak menganggap "jiran" mereka yang bertemu pada satu titik sahaja, seperti negeri Wyoming dan Utah di AS. Profesor itu tidak tahu... dan masalah itu telah menunggu penyelesaian selama lebih seratus tahun.

8. Icosahedron daripada blok RECO. Reflektor denyar menunjukkan persamaan ikosahedron dengan segi tiga dan pentagon. Lima segi tiga menumpu pada setiap bucu.

Ia berlaku dengan cara yang tidak dijangka. Pada tahun 1976, sekumpulan ahli matematik Amerika menulis program untuk menyelesaikan masalah ini (dan mereka memutuskan: ya, empat warna akan sentiasa mencukupi). Ini adalah bukti pertama fakta matematik yang diperoleh dengan bantuan "mesin matematik" - kerana komputer dipanggil setengah abad yang lalu (dan lebih awal lagi: "otak elektronik").

Berikut ialah "peta Eropah" yang ditunjukkan khas (ara. 9). Negara-negara yang mempunyai sempadan yang sama disambungkan. Mewarnai peta adalah sama seperti mewarnakan bulatan graf ini (dipanggil graf) supaya tiada bulatan yang bersambung mempunyai warna yang sama. Tinjauan di Liechtenstein, Belgium, Perancis dan Jerman menunjukkan bahawa tiga warna tidak mencukupi. Jika anda mahu, Pembaca, warnakannya dengan empat warna.

9. Siapa yang bersempadan dengan siapa di Eropah?

Ya, tetapi adakah ia berbaloi dengan wang pembayar cukai? Jadi mari kita lihat graf yang sama sedikit berbeza. Lupa bahawa ada negeri dan sempadan. Biarkan bulatan melambangkan paket maklumat untuk dihantar dari satu titik ke titik lain (contohnya, dari P ke EST), dan segmen mewakili kemungkinan sambungan, yang setiap satunya mempunyai lebar jalur sendiri. Hantar secepat mungkin?

Mula-mula, mari kita lihat situasi yang sangat mudah, tetapi juga sangat menarik dari sudut pandangan matematik. Kita perlu menghantar sesuatu dari titik S (= sebagai permulaan) ke titik M (= penamat) menggunakan rangkaian sambungan dengan lebar jalur yang sama, katakan 1. Kita lihat ini dalam ara. 10.

10. Rangkaian sambungan dari Statsyika Zdrój ke Megapolis.

Bayangkan kira-kira 89 bit maklumat perlu dihantar dari S ke M. Pengarang kata-kata ini menyukai masalah tentang kereta api, jadi dia membayangkan bahawa dia adalah seorang pengurus di Stacie Zdrój, dari mana dia perlu menghantar 144 gerabak. ke stesen metropolis. Kenapa betul-betul 144? Kerana, seperti yang akan kita lihat, ini akan digunakan untuk mengira daya pengeluaran keseluruhan rangkaian. Kapasiti ialah 1 dalam setiap lot, i.e. satu kereta boleh melepasi setiap unit masa (satu bit maklumat, mungkin juga Gigabait).

Mari pastikan semua kereta bertemu pada masa yang sama di M. Semua orang tiba di sana dalam 89 unit masa. Jika saya mempunyai paket maklumat yang sangat penting dari S ke M untuk dihantar, saya memecahkannya kepada kumpulan 144 unit dan meneruskannya seperti di atas. Matematik menjamin bahawa ini akan menjadi yang terpantas. Bagaimanakah saya tahu bahawa anda memerlukan 89? Saya sebenarnya meneka, tetapi jika saya tidak meneka, saya perlu memikirkannya Persamaan Kirchhoff (ada sesiapa ingat? - ini adalah persamaan yang menerangkan aliran arus). Jalur lebar rangkaian ialah 184/89, iaitu lebih kurang sama dengan 1,62.

Tentang kegembiraan

Ngomong-ngomong, saya suka nombor 144. Saya suka menaiki bas dengan nombor ini ke Dataran Istana di Warsaw - apabila tiada Istana Diraja yang dipulihkan di sebelahnya. Mungkin pembaca muda tahu apa itu sedozen. Itu 12 salinan, tetapi hanya pembaca yang lebih tua ingat bahawa sedozen, iaitu. 122=144, inilah yang dipanggil lot. Dan setiap orang yang mengetahui matematik lebih sedikit daripada kurikulum sekolah akan segera memahaminya ara. 10 kami mempunyai nombor Fibonacci dan jalur lebar rangkaian hampir dengan "nombor emas"

Dalam jujukan Fibonacci, 144 ialah satu-satunya nombor yang merupakan segi empat tepat. Seratus empat puluh empat juga merupakan "nombor yang menggembirakan." Begitulah seorang ahli matematik amatur India Dattatreya Ramachandra Caprecar pada tahun 1955, beliau menamakan nombor yang boleh dibahagi dengan jumlah digit konstituennya:

Jika dia mengetahuinya Adam Mickiewicz, dia pasti akan menulis tidak dalam Dzyady: “Dari seorang ibu yang pelik; darahnya adalah pahlawan lamanya / Dan namanya empat puluh empat, hanya lebih elegan: Dan namanya seratus empat puluh empat.

Ambil hiburan dengan serius

Saya harap saya telah meyakinkan pembaca bahawa teka-teki Sudoku adalah bahagian yang menyeronokkan bagi soalan-soalan yang sememangnya patut diambil serius. Saya tidak dapat mengembangkan topik ini lagi. Oh, pengiraan lebar jalur rangkaian penuh daripada rajah yang disediakan pada ara. 9 menulis sistem persamaan akan mengambil masa dua atau lebih jam - mungkin juga berpuluh-puluh saat (!) kerja komputer.