Petak berwarna dan gerhana matahari
Artikel itu menerangkan kelas saya untuk pelajar sekolah menengah - pemegang biasiswa Tabung Kanak-Kanak Kebangsaan. Yayasan ini mencari kanak-kanak dan belia yang berbakat terutamanya (dari gred XNUMX sekolah rendah hingga sekolah menengah) dan menawarkan "biasiswa" kepada pelajar terpilih. Walau bagaimanapun, mereka tidak terlibat sama sekali dalam mengeluarkan wang tunai, tetapi dalam penjagaan komprehensif untuk pembangunan bakat, sebagai peraturan, selama bertahun-tahun. Tidak seperti banyak projek lain jenis ini, saintis terkenal, tokoh budaya, humanis terkemuka dan orang bijak lain, serta beberapa ahli politik, mengambil serius wad Yayasan.
Aktiviti Yayasan meliputi semua disiplin yang merupakan mata pelajaran asas sekolah, kecuali sukan, termasuk seni. Dana itu diwujudkan pada tahun 1983 sebagai penawar kepada realiti ketika itu. Sesiapa sahaja boleh memohon kepada dana (biasanya melalui sekolah, sebaik-baiknya sebelum akhir tahun sekolah), tetapi, sudah tentu, terdapat penapis tertentu, prosedur kelayakan tertentu.
Seperti yang telah saya nyatakan, artikel itu berdasarkan kelas sarjana saya, khususnya di Gdynia, pada Mac 2016, di sekolah menengah ke-24 di sekolah menengah III. Tentera Laut. Selama bertahun-tahun, seminar ini telah dianjurkan di bawah naungan Yayasan oleh Wojciech Thomalczyk, seorang guru yang berkarisma luar biasa dan tahap intelektual yang tinggi. Pada tahun 2008, beliau memasuki sepuluh teratas di Poland, yang dianugerahkan gelaran Profesor Pedagogi (diperuntukkan oleh undang-undang bertahun-tahun yang lalu). Terdapat sedikit keterlaluan dalam kenyataan: "Pendidikan adalah paksi dunia".
dan bulan sentiasa menarik - maka anda boleh merasakan bahawa kita hidup di planet kecil dalam ruang yang besar, di mana segala-galanya bergerak, diukur dalam sentimeter dan saat. Ia juga menakutkan saya sedikit, juga perspektif masa. Kami mengetahui bahawa gerhana penuh seterusnya, yang boleh dilihat dari kawasan Warsaw hari ini, akan berada di ... 2681. Saya tertanya-tanya siapa yang akan melihatnya? Saiz jelas Matahari dan Bulan di langit kita hampir sama - itulah sebabnya gerhana sangat pendek dan sangat menakjubkan. Selama berabad-abad, minit yang singkat itu sepatutnya cukup untuk ahli astronomi melihat korona suria. Anehnya ia berlaku dua kali setahun... tetapi itu hanya bermakna di suatu tempat di Bumi ia boleh dilihat untuk tempoh yang singkat. Akibat pergerakan pasang surut, Bulan bergerak menjauhi Bumi - dalam 260 juta tahun ia akan menjadi sangat jauh sehingga kita (kita???) hanya akan melihat gerhana anulus.
Rupanya yang pertama meramal gerhana, ialah Thales of Miletus (28-585 abad SM). Kita mungkin tidak akan tahu sama ada ia benar-benar berlaku, iaitu, sama ada dia meramalkannya, kerana fakta bahawa gerhana di Asia Kecil berlaku pada Mei 567, 566 SM adalah fakta yang disahkan oleh pengiraan moden. Sudah tentu, saya memetik data untuk akaun masa hari ini. Semasa saya kecil, saya membayangkan bagaimana orang mengira tahun. Jadi ini, sebagai contoh, XNUMX SM, Malam Tahun Baru akan datang dan orang ramai bergembira: hanya XNUMX tahun SM! Alangkah gembiranya mereka apabila “zaman kita” akhirnya tiba! Betapa perubahan beribu tahun yang kita alami beberapa tahun yang lalu!
Matematik Pengiraan Tarikh dan Julat gerhana, tidak begitu rumit, tetapi dipenuhi dengan pelbagai faktor yang berkaitan dengan keteraturan dan, lebih teruk lagi, dengan pergerakan badan yang tidak sekata dalam orbit. Saya juga ingin tahu matematik ini. Bagaimanakah Thales of Miletus boleh membuat pengiraan yang diperlukan? Jawapannya mudah sahaja. Anda mesti mempunyai peta langit. Bagaimana untuk membuat peta sedemikian? Ini juga tidak sukar, orang Mesir kuno tahu bagaimana melakukannya. Pada tengah malam, dua imam keluar ke atas bumbung kuil. Masing-masing duduk dan melukis apa yang dilihatnya (seperti rakan sekerjanya). Selepas dua ribu tahun, kita tahu segala-galanya tentang pergerakan planet ...
Geometri yang cantik, atau keseronokan di atas "permaidani"
Orang Yunani tidak suka nombor, mereka menggunakan geometri. Inilah yang akan kita lakukan. kami gerhana mereka akan menjadi mudah, berwarna-warni, tetapi sama menarik dan nyata. Kami menerima konvensyen bahawa angka biru bergerak sedemikian rupa sehingga ia gerhana angka merah. Mari kita panggil angka biru bulan, dan angka merah matahari. Kami bertanya kepada diri sendiri soalan berikut:
- berapa lama gerhana berlangsung;
- apabila separuh daripada sasaran dilindungi;
nasi. 1 "permaidani" pelbagai warna dengan matahari dan bulan
- apakah liputan maksimum;
- adakah mungkin untuk menganalisis pergantungan perlindungan perisai tepat pada masanya? Dalam artikel ini (saya dihadkan oleh jumlah teks) saya akan memberi tumpuan kepada soalan kedua. Di sebalik ini adalah geometri yang bagus, mungkin tanpa pengiraan yang membosankan. Mari lihat rajah. 1. Bolehkah diandaikan bahawa ia akan dikaitkan dengan ... gerhana matahari?
Sejujurnya saya katakan bahawa tugasan yang akan saya bincangkan akan dipilih khas, disesuaikan dengan pengetahuan dan kemahiran pelajar sekolah menengah dan menengah. Tetapi kami melatih tugas seperti pemuzik bermain alat penimbang, dan atlet melakukan latihan perkembangan am. Selain itu, bukankah ia hanya permaidani yang cantik (rajah 1)?
nasi. 2 Bulan "Biru" dan Matahari "Merah".
Badan angkasa kita, sekurang-kurangnya pada mulanya, akan berbentuk segi empat sama berwarna. Bulan berwarna biru, matahari merah (terbaik untuk mewarna). dengan masa kini gerhana Bulan mengejar matahari melintasi langit, mengejar ... dan menutupnya. Ia akan sama dengan kita. Kes paling mudah, apabila Bulan bergerak relatif kepada Matahari, seperti yang ditunjukkan dalam Rajah. 2. Gerhana bermula apabila pinggir cakera Bulan menyentuh tepi cakera Matahari (Rajah 2) dan berakhir apabila ia melepasinya.
nasi. 3 Bulan menghampiri matahari secara menyerong
Kami menganggap bahawa "Bulan" menggerakkan satu sel setiap unit masa, sebagai contoh, seminit. Gerhana kemudian berlangsung selama lapan unit masa, katakan minit. Separuh gerhana matahari dimalapkan sepenuhnya Separuh dail ditutup dua kali: selepas 2 dan 6 minit. Graf peratusan kekaburan adalah mudah. Semasa dua minit pertama, perisai ditutup sama rata pada kadar sifar hingga 1, dua minit seterusnya ia terdedah pada kadar yang sama.
Berikut ialah contoh yang lebih menarik (Gamb. 3). Bulan menghampiri matahari secara menyerong. Menurut perjanjian pembayaran seminit kami, gerhana berlangsung selama 8√2 minit - pada pertengahan masa ini kita mempunyai gerhana penuh. Mari kita hitung bahagian matahari yang dilitupi selepas masa t (Rajah 3). Jika t minit telah berlalu sejak permulaan gerhana, dan akibatnya Bulan adalah seperti yang ditunjukkan dalam Rajah. 5, kemudian (perhatian!) Oleh itu, ia dilindungi (luas persegi APQR), sama dengan separuh cakera suria; oleh itu, ia dilindungi apabila, i.e. selepas 4 minit (kemudian 4 minit sebelum berakhirnya gerhana).
nasi. 4 Graf fungsi "lorek".
Keseluruhan berlangsung satu saat (t = 4√2), dan graf bagi fungsi "bahagian berlorek" terdiri daripada dua lengkok parabola (Rajah 4).
Bulan biru kita akan menyentuh sudut dengan matahari merah, tetapi ia akan menutupinya, bukan menyerong, tetapi sedikit menyerong.Geometri yang menarik muncul apabila kita merumitkan sedikit pergerakan (Rajah 6). Arah pergerakan kini adalah vektor [4,3], iaitu, "empat sel ke kanan, tiga sel ke atas." Kedudukan Matahari adalah sedemikian rupa sehingga gerhana bermula (kedudukan A) apabila sisi "badan angkasa" menumpu kepada satu perempat daripada panjangnya. Apabila Bulan bergerak ke kedudukan B, ia akan gerhana satu perenam Matahari, dan pada kedudukan C ia akan gerhana separuh. Dalam kedudukan D, kita mempunyai gerhana penuh, dan kemudian semuanya kembali, "seperti yang berlaku."
nasi. 5 Bahagian Matahari tersembunyi pada masa t
Gerhana berakhir apabila Bulan berada di kedudukan G. Ia berlangsung selama panjang bahagian AG. Jika, seperti sebelumnya, kita ambil sebagai unit masa masa di mana Bulan melepasi "satu persegi", maka panjang AG adalah sama. Jika kita kembali kepada konvensyen lama bahawa badan angkasa kita adalah 4 dengan 4, hasilnya akan berbeza (apa?). Memandangkan ia mudah ditunjukkan, sasaran ditutup selepas t < 15. Graf fungsi "peratusan liputan skrin" boleh dilihat dalam rajah. 6.
nasi. 6 Graf fungsi "perlindungan peratus".
Persamaan gerhana dan lompat
nasi. 7 Halangan cakera suria semasa gerhana ditunjukkan dalam rajah. 6
Masalah gerhana akan menjadi tidak lengkap jika kita tidak mengambil kira kes bulatan. Ini adalah lebih rumit, tetapi mari kita cuba memikirkan apabila satu bulatan gerhana separuh daripada yang lain - dan dalam kes paling mudah, apabila salah satu daripadanya bergerak sepanjang diameter yang menghubungkan mereka berdua. Lukisan itu biasa kepada pemegang beberapa kad kredit.
Mengira kedudukan medan adalah rumit, kerana ia memerlukan, pertama, pengetahuan tentang formula untuk kawasan segmen bulat, kedua, pengetahuan tentang lengkok sudut, dan ketiga (dan yang paling teruk), keupayaan untuk menyelesaikan persamaan lompatan tertentu. Saya tidak akan menerangkan apa itu "persamaan transitif", mari kita lihat contoh (Rajah 8).
nasi. 8 Gerhana "sfera".
Bahagian bulat ialah "mangkuk" yang tinggal selepas memotong bulatan dengan garis lurus. Luas segmen tersebut ialah S = 1/2r2(φ-sinφ), dengan r ialah jejari bulatan, dan φ ialah sudut pusat di mana segmen terletak (Rajah 8). Ini mudah diperoleh dengan menolak luas segi tiga daripada luas sektor bulatan.
Episod O1O2 (jarak antara pusat bulatan) kemudiannya sama dengan 2rcosφ/2, dan tinggi (lebar, “garis pinggang”) h = 2rsinφ/2. Jadi, jika kita ingin mengira bila Bulan akan meliputi separuh daripada cakera suria, kita perlu menyelesaikan persamaan: yang, selepas dipermudahkan, menjadi:
nasi. 9 Graf dua fungsi
Penyelesaian persamaan tersebut melangkaui algebra mudah - persamaan mengandungi kedua-dua sudut dan fungsi trigonometrinya. Persamaan adalah di luar jangkauan kaedah tradisional. Itulah sebabnya ia dipanggil untuk melompat. Mari kita lihat graf kedua-dua fungsi, iaitu fungsi dan fungsi. Kita boleh membaca penyelesaian anggaran daripada angka ini. Walau bagaimanapun, kita boleh mendapatkan anggaran berulang atau… gunakan pilihan Penyelesai dalam hamparan Excel. Setiap pelajar sekolah menengah sepatutnya boleh melakukan ini, kerana ia adalah abad ke-20. Saya menggunakan alat Mathematica yang lebih canggih dan inilah penyelesaian kami dengan XNUMX tempat perpuluhan dengan ketepatan yang tidak perlu:
SetPrecision[FindRoot[x==Sin[x]+Pi/2,{x,2}],20] {x⇒2.3098814600100574523}.
nasi. 10 Animasi gerhana dalam matematica
Kami mengubahnya menjadi darjah dengan mendarab dengan 180/π. Kami mendapat 132 darjah, 20 minit, 45 dan satu perempat daripada arka saat. Kami mengira bahawa jarak ke pusat bulatan ialah O1O2 = 0,808 jejari, dan "pinggang" 2,310.
