Laluan geometri dan belukar

Semasa menulis artikel ini, saya teringat lagu lama oleh Jan Pietrzak, yang dia nyanyikan sebelum aktiviti satiranya dalam kabaret Pod Egidą, yang diiktiraf di Republik Rakyat Poland sebagai injap keselamatan; seseorang boleh ketawa secara jujur ​​melihat paradoks sistem. Dalam lagu ini, penulis mengesyorkan penyertaan politik sosialis, mempersendakan mereka yang ingin bersikap tidak berpolitik dan menutup radio di akhbar. "Adalah lebih baik untuk kembali ke sekolah membaca," kemudian Petshak yang berusia XNUMX tahun menyanyi secara ironis.

Saya akan kembali ke sekolah membaca. Saya membaca semula (bukan kali pertama) buku Shchepan Yelensky (1881-1949) "Lylavati". Bagi beberapa pembaca, perkataan itu sendiri mengatakan sesuatu. Ini adalah nama anak perempuan ahli matematik Hindu terkenal yang dikenali sebagai Bhaskara (1114-1185), bernama Akaria, atau orang bijak yang menamakan bukunya tentang algebra dengan nama itu. Lilavati kemudiannya menjadi ahli matematik dan ahli falsafah terkenal sendiri. Menurut sumber lain, dialah yang menulis buku itu sendiri.

Szczepan Yelensky memberikan tajuk yang sama kepada bukunya mengenai matematik (edisi pertama, 1926). Malah mungkin sukar untuk memanggil buku ini sebagai karya matematik - ia lebih kepada satu set teka-teki, dan sebahagian besarnya ditulis semula daripada sumber Perancis (hak cipta dalam erti kata moden tidak wujud). Walau apa pun, selama bertahun-tahun ia adalah satu-satunya buku Poland yang popular mengenai matematik - kemudian buku kedua Jelensky, Pythagoras's Sweets, telah ditambah kepadanya. Jadi orang muda yang berminat dalam matematik (yang betul-betul seperti saya dahulu) tidak mempunyai apa-apa untuk dipilih ...

sebaliknya, "Lilavati" perlu dikenali hampir dengan hati... Ah, ada masanya... Kelebihan terbesar mereka ialah saya... remaja ketika itu. Hari ini, dari sudut pandangan ahli matematik yang berpendidikan tinggi, saya melihat Lilavati dengan cara yang sama sekali berbeza - mungkin seperti pendaki di selekoh laluan ke Shpiglasova Pshelench. Tidak seorang pun atau yang lain kehilangan daya tarikannya ... Dalam gaya cirinya, Shchepan Yelensky, yang menganut apa yang dipanggil idea kebangsaan dalam kehidupan peribadinya, dia menulis dalam kata pengantar:

Tanpa menyentuh perihalan ciri-ciri kebangsaan, saya akan mengatakan bahawa walaupun selepas sembilan puluh tahun, kata-kata Yelensky tentang matematik tidak kehilangan kaitannya. Matematik mengajar anda berfikir. Ianya adalah fakta. Bolehkah kami mengajar anda berfikir secara berbeza, lebih ringkas dan lebih cantik? Mungkin. Cuma... kita masih tidak boleh. Saya menerangkan kepada pelajar saya yang tidak mahu membuat matematik bahawa ini juga merupakan ujian kecerdasan mereka. Jika anda tidak dapat mempelajari teori matematik yang sangat mudah, maka... mungkin kebolehan mental anda lebih teruk daripada yang kita berdua mahukan...?

Tanda-tanda di pasir

Dan inilah kisah pertama dalam "Lylavati" - kisah yang diterangkan oleh ahli falsafah Perancis Joseph de Maistre (1753-1821).

Seorang kelasi dari kapal yang karam telah dilempar ombak ke pantai kosong, yang dianggapnya tidak berpenghuni. Tiba-tiba, di dalam pasir pantai, dia ternampak kesan figura geometri yang dilukis di hadapan seseorang. Ketika itulah dia menyedari bahawa pulau itu tidak sepi!

Memetik de Mestri, Yelensky menulis: angka geometriia akan menjadi ungkapan bisu untuk malang, kapal karam, kebetulan, tetapi dia menunjukkan kepadanya sepintas lalu perkadaran dan nombor, dan ini digembar-gemburkan seorang lelaki yang tercerahkan. Begitu banyak untuk sejarah.

Perhatikan bahawa seorang kelasi akan menyebabkan reaksi yang sama, contohnya, dengan melukis huruf K, ... dan sebarang kesan lain kehadiran seseorang. Di sini geometri adalah ideal.

Walau bagaimanapun, ahli astronomi Camille Flammarion (1847-1925) mencadangkan tamadun saling menyapa dari jauh menggunakan geometri. Dia melihat dalam ini satu-satunya percubaan yang betul dan mungkin dalam komunikasi. Mari tunjukkan kepada orang Marikh seperti segi tiga Pythagoras... mereka akan menjawab kami dengan Thales, kami akan menjawab mereka dengan corak Vieta, bulatan mereka akan sesuai dengan segi tiga, jadi persahabatan bermula...

Penulis seperti Jules Verne dan Stanislav Lem kembali kepada idea ini. Dan pada tahun 1972, jubin dengan corak geometri (dan bukan sahaja) diletakkan di atas probe Pioneer, yang masih melintasi keluasan angkasa, kini hampir 140 unit astronomi daripada kami (1 I ialah jarak purata Bumi dari Bumi) . Matahari, iaitu, kira-kira 149 juta km). Jubin itu direka, sebahagiannya, oleh ahli astronomi Frank Drake, pencipta peraturan kontroversi mengenai bilangan tamadun luar angkasa.

Geometri adalah menakjubkan. Kita semua tahu sudut pandangan umum tentang asal usul sains ini. Kita (kita manusia) baru sahaja mula mengukur tanah (dan kemudiannya tanah) untuk tujuan yang paling berguna. Menentukan jarak, melukis garis lurus, menandakan sudut tepat dan mengira isipadu secara beransur-ansur menjadi satu keperluan. Oleh itu semuanya geometri ("Sukatan bumi"), oleh itu semua matematik ...

Walau bagaimanapun, untuk beberapa waktu gambaran jelas tentang sejarah sains ini menyelubungi kami. Kerana jika matematik diperlukan semata-mata untuk tujuan operasi, kami tidak akan terlibat dalam membuktikan teorem mudah. "Anda melihat bahawa ini sepatutnya benar sama sekali," seseorang akan berkata selepas menyemak bahawa dalam beberapa segi tiga tepat jumlah kuasa dua hipotenus adalah sama dengan kuasa dua hipotenus. Mengapa formalisme sedemikian?

Pai plum mesti lazat, program komputer perlu berfungsi, mesin perlu berfungsi. Jika saya mengira kapasiti tong itu tiga puluh kali dan semuanya teratur, maka mengapa lagi?

Sementara itu, terfikir oleh orang Yunani kuno bahawa beberapa bukti rasmi perlu ditemui.

Jadi, matematik bermula dengan Thales (625-547 SM). Diandaikan bahawa Miletus yang mula tertanya-tanya mengapa. Tidak cukup bagi orang pintar bahawa mereka telah melihat sesuatu, bahawa mereka yakin akan sesuatu. Mereka melihat keperluan untuk bukti, urutan logik hujah dari andaian kepada tesis.

Mereka juga mahu lebih. Mungkin Thales yang mula-mula cuba menerangkan fenomena fizikal dengan cara naturalistik, tanpa campur tangan ilahi. Falsafah Eropah bermula dengan falsafah alam - dengan apa yang sudah ada di belakang fizik (maka namanya: metafizik). Tetapi asas ontologi Eropah dan falsafah semula jadi telah diletakkan oleh Pythagoras (Pythagoras, c. 580-c. 500 BC).

Dia mengasaskan sekolahnya sendiri di Crotone di selatan Semenanjung Apennine - hari ini kita akan memanggilnya sebagai mazhab. Sains (dalam erti kata semasa), mistik, agama dan fantasi semuanya saling berkait rapat. Thomas Mann menyampaikan pelajaran matematik dengan sangat indah di gimnasium Jerman dalam novel Doktor Faustus. Diterjemah oleh Maria Kuretskaya dan Witold Virpsha, serpihan ini berbunyi:

Dalam buku menarik Charles van Doren, The History of Knowledge from the Dawn of History to the Present Day, saya dapati satu sudut pandangan yang sangat menarik. Dalam salah satu bab penulis menerangkan kepentingan sekolah Pythagoras. Tajuk bab itu sangat menarik perhatian saya. Ia berbunyi: "Penciptaan Matematik: The Pythagoreans".

Kita sering membincangkan sama ada teori matematik sedang ditemui (cth tanah yang tidak diketahui) atau dicipta (cth mesin yang tidak wujud sebelum ini). Sesetengah ahli matematik kreatif melihat diri mereka sebagai penyelidik, yang lain sebagai pencipta atau pereka, kurang kerap bertindak balas.

Tetapi penulis buku ini menulis tentang ciptaan matematik secara umum.

Daripada keterlaluan kepada khayalan

Selepas bahagian pengenalan yang panjang ini, saya akan meneruskan ke permulaan. geometriuntuk menerangkan bagaimana terlalu bergantung pada geometri boleh mengelirukan saintis. Johannes Kepler dikenali dalam fizik dan astronomi sebagai penemu tiga hukum pergerakan benda angkasa. Pertama, setiap planet dalam sistem suria bergerak mengelilingi matahari dalam orbit elips, di salah satu fokusnya ialah matahari. Kedua, pada selang masa yang tetap sinar utama planet, yang diambil dari Matahari, menarik medan yang sama. Ketiga, nisbah kuasa dua tempoh revolusi planet mengelilingi Matahari kepada kubus paksi separuh utama orbitnya (iaitu, jarak purata dari Matahari) adalah malar untuk semua planet dalam sistem suria.

Mungkin ini adalah undang-undang ketiga - ia memerlukan banyak data dan pengiraan untuk menetapkannya, yang mendorong Kepler untuk terus mencari corak dalam pergerakan dan kedudukan planet. Sejarah "penemuan" barunya sangat memberi pengajaran. Sejak zaman dahulu, kita telah mengagumi bukan sahaja polyhedra biasa, tetapi juga hujah yang menunjukkan bahawa terdapat hanya lima daripada mereka di angkasa. Polihedron tiga dimensi dipanggil sekata jika mukanya ialah poligon sekata yang sama dan setiap bucu mempunyai bilangan tepi yang sama. Sebagai ilustrasi, setiap sudut polihedron biasa harus "kelihatan sama". Polihedron yang paling terkenal ialah kubus. Semua orang pernah melihat buku lali biasa.

Tetrahedron biasa kurang dikenali, dan di sekolah ia dipanggil piramid segi tiga biasa. Ia kelihatan seperti piramid. Baki tiga polyhedra biasa kurang dikenali. Satu oktahedron terbentuk apabila kita menyambungkan pusat-pusat tepi kubus. Dodecahedron dan icosahedron sudah kelihatan seperti bola. Diperbuat daripada kulit lembut, ia akan selesa untuk digali. Alasan bahawa tiada polyhedra biasa selain daripada lima pepejal Platonik adalah sangat baik. Pertama, kita sedar bahawa jika jasad adalah sekata, maka nombor yang sama (biar q) poligon sekata yang sama mesti menumpu pada setiap bucu, biarkan ini menjadi sudut p. Sekarang kita perlu ingat apakah sudut dalam poligon sekata. Jika seseorang tidak ingat dari sekolah, kami mengingatkan anda bagaimana untuk mencari corak yang betul. Kami melakukan perjalanan di sekitar sudut. Pada setiap bucu kita berpusing melalui sudut yang sama a. Apabila kita mengelilingi poligon dan kembali ke titik permulaan, kita telah membuat p pusingan sedemikian, dan secara keseluruhan kita telah bertukar 360 darjah.

Tetapi α ialah pelengkap 180 darjah bagi sudut yang ingin kita hitung, dan oleh itu

Kami telah menemui formula untuk sudut (ahli matematik akan berkata: ukuran sudut) poligon sekata. Mari kita semak: dalam segi tiga p = 3, tiada a

macam ni. Apabila p = 4 (persegi), maka

ijazah pun boleh.

Apa yang kita dapat untuk pentagon? Jadi apa yang berlaku apabila terdapat q poligon, setiap p mempunyai sudut yang sama

 darjah menurun pada satu bucu? Jika ia berada di atas satah, maka satu sudut akan terbentuk

darjah dan tidak boleh lebih daripada 360 darjah - kerana poligon itu bertindih.

Walau bagaimanapun, kerana poligon ini bertemu di ruang angkasa, sudut mestilah kurang daripada sudut penuh.

Dan inilah ketidaksamaan dari mana semuanya berikut:

Bahagikannya dengan 180, darab kedua-dua bahagian dengan p, tertib (p-2) (q-2) < 4. Apakah yang berikut? Mari kita sedar bahawa p dan q mestilah nombor asli dan p > 2 (mengapa? Dan apakah p?) dan juga q > 2. Tidak banyak cara untuk menjadikan hasil darab dua nombor asli kurang daripada 4. Kami akan menyenaraikan semuanya. dalam jadual 1.

Saya tidak menyiarkan lukisan, semua orang boleh melihat angka ini di Internet... Di Internet... Saya tidak akan menolak penyimpangan lirik - mungkin ia menarik untuk pembaca muda. Pada tahun 1970 saya bercakap di seminar. Topik itu sukar. Saya mempunyai sedikit masa untuk menyediakan, saya duduk pada waktu malam. Rencana utama adalah baca sahaja di tempat. Tempat itu selesa, dengan suasana kerja, baik, ia ditutup pada pukul tujuh. Kemudian pengantin perempuan (kini isteri saya) sendiri menawarkan untuk menulis semula keseluruhan artikel untuk saya: kira-kira sedozen halaman bercetak. Saya menyalinnya (tidak, bukan dengan pena bulu, malah kami mempunyai pen), kuliah itu berjaya. Hari ini saya cuba mencari penerbitan ini yang sudah lama. Saya hanya ingat nama pengarangnya... Carian di Internet berlangsung lama... penuh lima belas minit. Saya memikirkannya dengan senyuman dan sedikit penyesalan yang tidak wajar.

Kami kembali ke Kepler dan geometri. Rupa-rupanya, Plato meramalkan kewujudan bentuk biasa kelima kerana dia tidak mempunyai sesuatu yang menyatukan, meliputi seluruh dunia. Mungkin itulah sebabnya dia mengarahkan seorang pelajar (Theajtet) untuk mencarinya. Seperti yang berlaku, begitu juga, atas dasar yang dodecahedron ditemui. Kami memanggil sikap ini panteisme Plato. Semua saintis, hingga ke Newton, tunduk kepadanya pada tahap yang lebih besar atau lebih kecil. Sejak abad kelapan belas yang sangat rasional, pengaruhnya telah berkurangan secara drastik, walaupun kita tidak harus malu dengan hakikat bahawa kita semua tunduk kepadanya dalam satu cara atau yang lain.

Dalam konsep Kepler membina sistem suria, semuanya betul, data eksperimen bertepatan dengan teori, teori itu secara logiknya koheren, sangat cantik ... tetapi benar-benar palsu. Pada zamannya, hanya enam planet yang diketahui: Mercury, Venus, Bumi, Marikh, Musytari dan Zuhal. Mengapa hanya terdapat enam planet? tanya Kepler. Dan keteraturan apakah yang menentukan jarak mereka dari Matahari? Dia menganggap bahawa segala-galanya bersambung, itu geometri dan kosmogoni berkait rapat antara satu sama lain. Daripada tulisan orang Yunani kuno, dia tahu bahawa hanya terdapat lima polyhedra biasa. Dia melihat bahawa terdapat lima lompang antara enam orbit. Jadi mungkin setiap ruang kosong ini sepadan dengan beberapa polihedron biasa?

Selepas beberapa tahun pemerhatian dan kerja teori, dia mencipta teori berikut, dengan bantuannya dia mengira dengan agak tepat dimensi orbit, yang dibentangkannya dalam buku "Mysterium Cosmographicum", yang diterbitkan pada tahun 1596: Bayangkan sfera gergasi, diameternya ialah diameter orbit Utarid dalam gerakan tahunannya mengelilingi matahari. Kemudian bayangkan bahawa pada sfera ini terdapat oktahedron biasa, di atasnya sfera, di atasnya icosahedron, di atasnya sekali lagi sfera, di atasnya dodekahedron, di atasnya sfera lain, di atasnya tetrahedron, kemudian sekali lagi sfera, kiub dan, akhirnya, pada kiub ini bola diterangkan.

Kepler membuat kesimpulan bahawa diameter sfera berturut-turut ini adalah diameter orbit planet lain: Utarid, Zuhrah, Bumi, Marikh, Musytari, dan Zuhal. Teori itu nampaknya sangat tepat. Malangnya, ini bertepatan dengan data eksperimen. Dan apakah bukti yang lebih baik tentang ketepatan teori matematik daripada kesesuaiannya dengan data eksperimen atau data pemerhatian, terutamanya "diambil dari syurga"? Saya meringkaskan pengiraan ini dalam Jadual 2. Jadi apa yang Kepler lakukan? Saya mencuba dan mencuba sehingga ia berjaya, iaitu, apabila konfigurasi (tertib sfera) dan pengiraan yang terhasil bertepatan dengan data pemerhatian. Berikut ialah angka dan pengiraan Kepler moden:

Seseorang boleh tunduk kepada daya tarikan teori dan percaya bahawa ukuran di langit adalah tidak tepat, dan bukan pengiraan yang dibuat dalam keheningan bengkel. Malangnya, hari ini kita tahu bahawa terdapat sekurang-kurangnya sembilan planet dan semua keputusan yang kebetulan hanyalah kebetulan. Sayang. Ia sangat indah...