Daya tarikan terbalik
Terdapat banyak perbincangan mengenai "pesona lawan", dan bukan sahaja dalam matematik. Ingat bahawa nombor bertentangan ialah nombor yang berbeza hanya dalam tanda: tambah 7 dan tolak 7. Jumlah nombor berlawanan ialah sifar. Tetapi bagi kami (iaitu ahli matematik) timbal balik lebih menarik. Jika hasil darab nombor adalah sama dengan 1, maka nombor ini adalah songsang antara satu sama lain. Setiap nombor mempunyai lawannya, setiap nombor bukan sifar mempunyai songsangnya. Saling timbal balik ialah benih.
Penyongsangan berlaku di mana-mana dua kuantiti berkaitan antara satu sama lain supaya jika satu bertambah, satu lagi berkurangan pada kadar yang sepadan. "Relevan" bermaksud produk kuantiti ini tidak berubah. Kami ingat dari sekolah: ini adalah perkadaran songsang. Jika saya ingin sampai ke destinasi saya dua kali lebih cepat (iaitu mengurangkan masa separuh), saya perlu menggandakan kelajuan saya. Jika isipadu bekas tertutup dengan gas dikurangkan sebanyak n kali, maka tekanannya akan meningkat sebanyak n kali.
Dalam pendidikan rendah, kami membezakan dengan teliti antara perbandingan perbezaan dan relatif. "Berapa banyak lagi"? – “Berapa kali lagi?”
Berikut adalah beberapa aktiviti sekolah:
Kerja 1. Daripada dua nilai positif, yang pertama adalah 5 kali lebih besar daripada yang kedua dan pada masa yang sama 5 kali lebih besar daripada yang pertama. Apakah dimensi?
Kerja 2. Jika satu nombor adalah 3 lebih besar daripada yang kedua, dan yang kedua adalah 2 lebih besar daripada yang ketiga, berapakah lebih besar nombor pertama daripada yang ketiga? Jika nombor positif pertama ialah dua kali kedua, dan nombor pertama ialah tiga kali ketiga, berapa kalikah nombor pertama lebih besar daripada yang ketiga?
Kerja 3. Dalam tugasan 2, hanya nombor asli dibenarkan. Adakah susunan seperti yang diterangkan di sana mungkin?
Kerja 4. Daripada dua nilai positif, yang pertama ialah 5 kali kedua, dan yang kedua ialah 5 kali yang pertama. Adakah mungkin?
Konsep "purata" atau "purata" nampak sangat mudah. Jika saya mengayuh basikal sejauh 55 km pada hari Isnin, 45 km pada hari Selasa, dan 80 km pada hari Rabu, secara purata saya mengayuh basikal sejauh 60 km sehari. Kami sepenuh hati bersetuju dengan pengiraan ini, walaupun ia agak pelik kerana saya tidak memandu sejauh 60 km dalam satu hari. Kami dengan mudah menerima bahagian seseorang: jika dua ratus orang mengunjungi restoran dalam masa enam hari, maka kadar harian purata ialah 33 orang dan satu pertiga orang. HM!
Terdapat masalah hanya dengan saiz purata. Saya suka berbasikal. Jadi saya mengambil kesempatan daripada tawaran agensi pelancongan "Jom ikut kami" - mereka menghantar bagasi ke hotel, di mana pelanggan menunggang basikal untuk tujuan rekreasi. Pada hari Jumaat saya memandu selama empat jam: dua yang pertama pada kelajuan 24 km sejam. Kemudian saya menjadi sangat letih sehingga untuk dua seterusnya pada kadar hanya 16 sejam. Apakah kelajuan purata saya? Sudah tentu (24+16)/2=20km=20km/j.
Pada hari Sabtu, bagaimanapun, bagasi itu ditinggalkan di hotel, dan saya pergi untuk melihat runtuhan istana, yang berjarak 24 km, dan setelah melihatnya, saya kembali. Saya memandu sejam ke satu arah, kembali dengan lebih perlahan, pada kelajuan 16 km sejam. Apakah kelajuan purata saya di laluan hotel-istana-hotel? 20 km sejam? Sudah tentu tidak. Lagipun, saya memandu sejauh 48 km dan saya mengambil masa sejam (“sana”) dan satu setengah jam kembali. 48 km dalam masa dua setengah jam, i.e. jam 48/2,5=192/10=19,2 km! Dalam keadaan ini, kelajuan purata bukanlah min aritmetik, tetapi harmonik nilai yang diberikan:
dan formula dua tingkat ini boleh dibaca seperti berikut: min harmonik bagi nombor positif ialah salingan bagi min aritmetik bagi salingan mereka. Timbal balik jumlah songsang muncul dalam banyak korus tugasan sekolah: jika seorang pekerja menggali jam, yang lain - b jam, kemudian, bekerja bersama-sama, mereka menggali tepat pada masanya. kolam air (satu sejam, satu lagi pada b jam). Jika satu perintang mempunyai R1 dan satu lagi mempunyai R2, maka mereka mempunyai rintangan selari.
Jika satu komputer boleh menyelesaikan masalah dalam beberapa saat, komputer lain dalam b saat, maka apabila mereka bekerjasama...
Berhenti! Di sinilah analogi berakhir, kerana semuanya bergantung pada kelajuan rangkaian: kecekapan sambungan. Pekerja juga boleh menghalang atau membantu antara satu sama lain. Jika seorang lelaki boleh menggali perigi dalam lapan jam, bolehkah lapan puluh pekerja melakukannya dalam 1/10 jam (atau 6 minit)? Jika enam porter membawa piano ke tingkat satu dalam masa 6 minit, berapa lamakah masa yang diambil oleh salah seorang daripada mereka untuk menghantar piano ke tingkat enam puluh? Kemustahilan masalah sedemikian mengingatkan kebolehgunaan terhad semua matematik kepada masalah "dari kehidupan".
Mengenai penjual yang berkuasa
Penimbang tidak lagi digunakan. Ingatlah bahawa timbangan diletakkan pada satu mangkuk timbangan sedemikian, dan barang yang ditimbang diletakkan di atas yang lain, dan apabila beratnya berada dalam keseimbangan, maka barang itu ditimbang sama beratnya. Sudah tentu, kedua-dua lengan beban berat mestilah sama panjang, jika tidak, penimbangan akan menjadi salah.
Oh betul. Bayangkan seorang jurujual yang mempunyai berat dengan leverage yang tidak sama rata. Bagaimanapun, dia mahu berterus terang dengan pelanggan dan menimbang barang itu dalam dua kelompok. Mula-mula, dia meletakkan pemberat pada satu kuali, dan pada satu lagi jumlah barang yang sepadan - supaya penimbang itu seimbang. Kemudian dia menimbang "separuh" kedua barang dalam susunan terbalik, iaitu, dia meletakkan berat pada mangkuk kedua, dan barang pada yang pertama. Oleh kerana tangan tidak sama, "separuh" tidak pernah sama. Dan hati nurani penjual adalah jelas, dan pembeli memuji kejujurannya: "Apa yang saya keluarkan di sini, saya kemudian tambah."
Namun, mari kita lihat lebih dekat gelagat seorang penjual yang ingin berterus terang walaupun beratnya tidak menentu. Biarkan lengan neraca mempunyai panjang a dan b. Jika satu daripada mangkuk itu dimuatkan dengan berat kilogram dan satu lagi dengan x barang, maka penimbang itu berada dalam keseimbangan jika ax = b kali pertama dan bx = a kali kedua. Jadi, bahagian pertama barangan adalah sama dengan b / sekilogram, bahagian kedua ialah a / b. Berat yang baik mempunyai a = b, jadi pembeli akan menerima 2 kg barang. Mari lihat apa yang berlaku apabila a ≠ b. Kemudian a – b ≠ 0 dan daripada formula pendaraban terkurang yang kita ada
Kami mendapat keputusan yang tidak dijangka: kaedah "purata" ukuran yang kelihatan adil dalam kes ini berfungsi untuk manfaat pembeli, yang menerima lebih banyak barangan.
Latihan 5. (Penting, bukan dalam matematik!). Seekor nyamuk mempunyai berat 2,5 miligram, dan seekor gajah lima tan (ini adalah data yang betul). Kirakan min aritmetik, min geometri dan min harmonik bagi jisim nyamuk dan gajah (berat). Semak pengiraan dan lihat sama ada ia masuk akal selain latihan aritmetik. Mari kita lihat contoh lain pengiraan matematik yang tidak masuk akal dalam "kehidupan sebenar". Petua: Kami telah melihat satu contoh dalam artikel ini. Adakah ini bermakna bahawa pelajar tanpa nama yang pendapatnya saya temui di Internet adalah betul: "Matematik memperbodohkan orang dengan nombor"?
Ya, saya bersetuju bahawa dalam kehebatan matematik, anda boleh "menipu" orang - setiap iklan syampu kedua mengatakan bahawa ia meningkatkan kegebuan dengan beberapa peratusan. Bolehkah kita mencari contoh lain alat harian yang berguna yang boleh digunakan untuk aktiviti jenayah?
Gram!
Tajuk petikan ini ialah kata kerja (plural orang pertama) bukan kata nama (plural nominatif seperseribu kilogram). Harmoni membayangkan susunan dan muzik. Bagi orang Yunani purba, muzik adalah cabang sains - mesti diakui bahawa jika kita berkata demikian, kita memindahkan makna semasa perkataan "sains" ke zaman sebelum era kita. Pythagoras hidup pada abad ke-XNUMX SM. Dia bukan sahaja tidak tahu komputer, telefon bimbit dan e-mel, tetapi dia juga tidak tahu siapa Robert Lewandowski, Mieszko I, Charlemagne dan Cicero. Dia tidak tahu sama ada angka Arab atau Rom (ia mula digunakan sekitar abad ke-XNUMX SM), dia tidak tahu apa itu Perang Punic ... Tetapi dia tahu muzik ...
Dia tahu bahawa pada alat bertali, pekali getaran adalah berkadar songsang dengan panjang bahagian getaran tali. Dia tahu, dia tahu, dia tidak dapat meluahkannya seperti yang kita lakukan hari ini.
Kekerapan dua getaran rentetan yang membentuk satu oktaf adalah dalam nisbah 1:2, iaitu, kekerapan not yang lebih tinggi adalah dua kali kekerapan not yang lebih rendah. Nisbah getaran yang betul untuk kelima ialah 2:3, keempat ialah 3:4, ketiga major tulen ialah 4:5, sepertiga kecil ialah 5:6. Ini adalah selang konsonan yang menyenangkan. Kemudian terdapat dua yang neutral, dengan nisbah getaran 6:7 dan 7:8, kemudian yang disonan - nada besar (8:9), nada kecil (9:10). Pecahan (nisbah) ini adalah seperti nisbah ahli berturut-turut bagi jujukan yang ahli matematik (atas sebab ini) memanggil siri harmonik:
ialah jumlah tak terhingga secara teorinya. Nisbah ayunan oktaf boleh ditulis sebagai 2:4 dan letakkan satu perlima di antara mereka: 2:3:4, iaitu, kita akan membahagikan oktaf kepada satu perlima dan satu perempat. Ini dipanggil pembahagian segmen harmonik dalam matematik:
nasi. 1. Untuk pemuzik: bahagikan oktaf AB kepada AC kelima.Untuk Ahli Matematik: Segmentasi Harmonik
Apakah yang saya maksudkan apabila saya bercakap (di atas) tentang jumlah tak terhingga secara teori, seperti siri harmonik? Ternyata jumlah sedemikian boleh menjadi jumlah yang besar, perkara utama ialah kita menambah untuk masa yang lama. Terdapat semakin sedikit bahan-bahan, tetapi semakin banyak daripada mereka. Apa yang berlaku? Di sini kita memasuki alam analisis matematik. Ternyata bahan-bahannya habis, tetapi tidak begitu cepat. Saya akan menunjukkan bahawa dengan mengambil bahan-bahan yang mencukupi, saya boleh merumuskan:
besar sewenang-wenangnya. Mari kita ambil "sebagai contoh" n = 1024. Mari kumpulkan perkataan seperti yang ditunjukkan dalam rajah:
Dalam setiap kurungan, setiap perkataan lebih besar daripada yang sebelumnya, kecuali, tentu saja, yang terakhir, yang sama dengan dirinya sendiri. Dalam kurungan berikut, kita mempunyai 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 dan 512 komponen; nilai jumlah dalam setiap kurungan adalah lebih besar daripada ½. Semua ini lebih daripada 5½. Pengiraan yang lebih tepat akan menunjukkan bahawa jumlah ini adalah lebih kurang 7,50918. Tidak banyak, tetapi selalu, dan anda boleh melihat bahawa dengan mengambil n mana-mana besar, saya boleh mengatasi sebarang nombor. Yang ini sangat perlahan (contohnya, kami sepuluh teratas dengan ramuan sahaja), tetapi pertumbuhan yang tidak terhingga sentiasa menarik minat ahli matematik.
Kembara ke infiniti dengan siri harmonik
Berikut ialah teka-teki kepada beberapa matematik yang agak serius. Kami mempunyai bekalan blok segi empat tepat tanpa had (apa yang boleh saya katakan, segi empat tepat!) dengan dimensi, katakan, 4 × 2 × 1. Pertimbangkan sistem yang terdiri daripada beberapa (pada ara. 2 - empat) blok, disusun supaya yang pertama condong sebanyak ½ daripada panjangnya, yang kedua dari atas sebanyak ¼ dan seterusnya, yang ketiga dengan satu perenam. Nah, mungkin untuk menjadikannya benar-benar stabil, mari kita condongkan bata pertama dengan sedikit. Ia tidak penting untuk pengiraan.
nasi. 2. Menentukan pusat graviti
Ia juga mudah difahami bahawa memandangkan rajah yang terdiri daripada dua blok pertama (mengira dari atas) mempunyai pusat simetri pada titik B, maka B ialah pusat graviti. Mari kita takrifkan secara geometri pusat graviti sistem, yang terdiri daripada tiga blok atas. Hujah yang sangat mudah sudah memadai di sini. Mari kita membahagikan komposisi tiga blok secara mental kepada dua bahagian atas dan satu lagi yang ketiga di bawah. Pusat ini mesti terletak pada bahagian yang menghubungkan pusat graviti kedua-dua bahagian. Pada titik manakah dalam episod ini?
Terdapat dua cara untuk menetapkan. Pada yang pertama, kita akan menggunakan pemerhatian bahawa pusat ini mesti terletak di tengah-tengah piramid tiga blok, iaitu, pada garis lurus yang bersilang dengan blok kedua, tengah. Dalam cara kedua, kami memahami bahawa oleh kerana dua bongkah teratas mempunyai jumlah jisim dua kali ganda daripada satu blok #3 (atas), pusat graviti pada bahagian ini mestilah dua kali lebih dekat dengan B berbanding dengan pusat. S daripada blok ketiga. Begitu juga, kita dapati titik seterusnya: kita sambungkan pusat ditemui tiga blok dengan pusat S blok keempat. Pusat keseluruhan sistem berada pada ketinggian 2 dan pada titik yang membahagikan segmen dengan 1 hingga 3 (iaitu, dengan ¾ panjangnya).
Pengiraan yang akan kami lakukan lebih jauh membawa kepada keputusan yang ditunjukkan dalam Rajah. rajah 3. Pusat graviti berturut-turut dikeluarkan dari tepi kanan blok bawah dengan:
Oleh itu, unjuran pusat graviti piramid sentiasa berada di dalam tapak. Menara itu tidak akan tumbang. Sekarang mari kita lihat ara. 3 dan sekejap, mari kita gunakan blok kelima dari atas sebagai tapak (yang bertanda dengan warna yang lebih cerah). Cenderung atas:
oleh itu, tepi kirinya adalah 1 lebih jauh daripada tepi kanan tapak. Inilah ayunan seterusnya:
Apakah hayunan terbesar? Kami sudah tahu! Tidak ada yang terhebat! Mengambil blok terkecil sekalipun, anda boleh mendapatkan overhang satu kilometer - malangnya, hanya secara matematik: seluruh Bumi tidak akan mencukupi untuk membina begitu banyak blok!
nasi. 3. Tambah lebih banyak blok
Sekarang pengiraan yang kami tinggalkan di atas. Kami akan mengira semua jarak "mendatar" pada paksi-x, kerana itu sahaja yang ada padanya. Titik A (pusat graviti blok pertama) ialah 1/2 dari tepi kanan. Titik B (pusat sistem dua blok) adalah 1/4 dari tepi kanan blok kedua. Biarkan titik permulaan menjadi penghujung blok kedua (sekarang kita akan beralih ke yang ketiga). Sebagai contoh, di manakah pusat graviti blok tunggal #3? Separuh panjang blok ini, oleh itu, ia adalah 1/2 + 1/4 = 3/4 dari titik rujukan kami. Di manakah titik C? Dalam dua pertiga segmen antara 3/4 dan 1/4, iaitu pada titik sebelumnya, kita menukar titik rujukan ke tepi kanan blok ketiga. Pusat graviti sistem tiga blok kini dialih keluar dari titik rujukan baharu, dan seterusnya. Pusat graviti Cn sebuah menara yang terdiri daripada n blok berada 1/2n dari titik rujukan serta-merta, iaitu pinggir kanan blok asas, iaitu blok ke-n dari atas.
Oleh kerana siri timbal balik menyimpang, kita boleh mendapatkan sebarang variasi yang besar. Adakah ini sebenarnya boleh dilaksanakan? Ia seperti menara bata yang tidak berkesudahan - lambat laun ia akan runtuh di bawah beratnya sendiri. Dalam skim kami, ketidaktepatan minimum dalam peletakan blok (dan peningkatan perlahan dalam jumlah separa siri) bermakna kami tidak akan pergi jauh.
