lima kali di mata
Pada penghujung tahun 2020, beberapa acara telah diadakan di universiti dan sekolah, ditunda dari ... Mac. Salah satunya ialah "perayaan" hari pi. Pada kesempatan ini, pada 8 Disember, saya memberikan kuliah jarak jauh di Universiti Silesia, dan artikel ini adalah ringkasan kuliah. Seluruh parti bermula pada 9.42, dan kuliah saya dijadualkan pada 10.28. Dari mana datangnya ketepatan sedemikian? Ia mudah: 3 kali pi ialah kira-kira 9,42, dan π kepada kuasa ke-2 ialah kira-kira 9,88, dan jam 9 hingga kuasa ke-88 ialah 10 hingga ke-28 ...
Adat menghormati nombor ini, menyatakan nisbah lilitan bulatan kepada diameternya dan kadangkala dipanggil pemalar Archimedes (serta dalam budaya berbahasa Jerman), berasal dari Amerika Syarikat (lihat juga: ). 3.14 Mac "Gaya Amerika" pada 22:22, oleh itu idea itu. Setara Poland boleh jadi 7 Julai kerana pecahan 14/XNUMX menghampiri π baik, yang… Archimedes sudah tahu. Nah, Mac XNUMX ialah masa terbaik untuk acara sampingan.
Tiga dan empat belas perseratus ini adalah salah satu daripada beberapa mesej matematik yang kekal bersama kami dari sekolah seumur hidup. Semua orang tahu maksudnya"lima kali di mata". Ia begitu tertanam dalam bahasa sehingga sukar untuk menyatakannya secara berbeza dan dengan rahmat yang sama. Apabila saya bertanya di kedai pembaikan kereta berapa kos pembaikan itu, mekanik itu memikirkannya dan berkata: "lima kali kira-kira lapan ratus zloty." Saya memutuskan untuk mengambil kesempatan daripada keadaan. "Maksud anda anggaran kasar?". Mekanik itu pasti menyangka saya salah dengar, jadi dia mengulangi, "Saya tidak tahu berapa banyak, tetapi lima kali mata akan menjadi 800."
.
Hal ini berkaitan dengan apa? Ejaan Pra-Perang Dunia II menggunakan "tidak" bersama-sama, dan saya meninggalkannya di sana. Kami tidak berurusan di sini dengan puisi yang tidak semestinya megah, walaupun saya suka idea bahawa "kapal emas mengepam kebahagiaan." Tanya pelajar: Apakah maksud pemikiran ini? Tetapi nilai teks ini terletak di tempat lain. Bilangan huruf dalam perkataan berikut ialah digit bagi sambungan pi. Mari lihat:
Π ≈ 3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359
Pada tahun 1596, seorang saintis Belanda yang berasal dari Jerman Ludolph van Seulen dikira nilai pi hingga 35 tempat perpuluhan. Kemudian patung-patung ini diukir pada kuburnya. Dia mendedikasikan puisi untuk nombor pi dan kepada pemenang Nobel kami, Vislava Shimborska. Szymborska terpesona dengan tidak berkala nombor ini dan fakta bahawa dengan kebarangkalian 1 setiap jujukan digit, seperti nombor telefon kami, akan berlaku di sana. Walaupun sifat pertama adalah wujud dalam setiap nombor tidak rasional (yang harus kita ingat dari sekolah), yang kedua adalah fakta matematik yang menarik yang sukar dibuktikan. Anda juga boleh mencari apl yang menawarkan: berikan saya nombor telefon anda dan saya akan memberitahu anda di mana ia berada dalam pi.
Di mana ada kebulatan, di situ ada tidur. Jika kita mempunyai tasik bulat, maka berjalan di sekelilingnya adalah 1,57 kali lebih lama daripada berenang. Sudah tentu, ini tidak bermakna kita akan berenang satu setengah hingga dua kali lebih perlahan daripada yang kita akan lalui. Saya berkongsi rekod dunia 100m dengan rekod dunia 100m. Menariknya, pada lelaki dan wanita, hasilnya hampir sama iaitu 4,9. Kami berenang 5 kali lebih perlahan daripada berlari. Mendayung benar-benar berbeza - tetapi cabaran yang menarik. Ia mempunyai jalan cerita yang agak panjang.
Melarikan diri dari Penjahat yang mengejar, Orang Baik yang kacak dan mulia itu belayar ke tasik. Penjahat itu berlari di sepanjang pantai dan menunggu dia untuk membuatnya mendarat. Sudah tentu, dia berlari lebih laju daripada barisan Dobry, dan jika dia berjalan lancar, Dobry lebih laju. Jadi satu-satunya peluang untuk Kejahatan adalah untuk mendapatkan Kebaikan dari pantai - tembakan tepat dari revolver bukanlah pilihan, kerana. Good mempunyai maklumat berharga yang Evil ingin tahu.
Baik mematuhi strategi berikut. Dia berenang melintasi tasik, secara beransur-ansur menghampiri pantai, tetapi sentiasa cuba untuk berada di sebelah yang bertentangan dengan Evil One, yang secara rawak berlari ke kiri, kemudian ke kanan. Ini ditunjukkan dalam rajah. Biarkan kedudukan permulaan Evil menjadi Z1, dan Dobre ialah bahagian tengah tasik. Apabila Zly berpindah ke Z1, Dobro akan belayar ke D.1apabila Bad berada di Z2, bagus pada D2. Ia akan mengalir secara zigzag, tetapi mematuhi peraturan: sejauh mungkin dari Z. Walau bagaimanapun, apabila ia bergerak dari pusat tasik, Good mesti bergerak dalam bulatan yang lebih besar dan lebih besar, dan pada satu ketika ia tidak dapat berpegang pada prinsip "untuk berada di sisi lain dari Kejahatan." Kemudian dia mendayung dengan sekuat tenaga ke pantai, berharap Iblis tidak akan memintas tasik itu. Adakah Good akan berjaya?
Jawapannya bergantung pada seberapa cepat Good boleh mendayung berhubung dengan nilai kaki Bad. Katakan Lelaki Jahat itu berlari pada kelajuan s kali ganda kelajuan Lelaki Baik di tasik. Oleh itu, bulatan terbesar, di mana Baik boleh mendayung untuk menentang Kejahatan, mempunyai jejari yang satu kali lebih kecil daripada jejari tasik. Jadi, dalam lukisan yang kita ada. Pada titik W, Jenis kami mula mendayung menuju ke pantai. Ini mesti pergi
dengan laju
Dia perlukan masa.
Fasik mengejar semua kakinya yang terbaik. Dia mesti melengkapkan separuh daripada bulatan, yang akan mengambil masa beberapa saat atau minit, bergantung pada unit yang dipilih. Jika ini lebih daripada pengakhiran yang menggembirakan:
Yang baik akan pergi. Akaun mudah menunjukkan apa yang sepatutnya. Jika Lelaki Jahat berlari lebih pantas daripada 4,14 kali Lelaki Baik, ia tidak berakhir dengan baik. Dan di sini juga, nombor pi kami campur tangan.
Yang bulat itu cantik. Mari lihat foto tiga pinggan hiasan - saya memilikinya selepas ibu bapa saya. Apakah luas segi tiga lengkung di antara mereka? Ini adalah tugas yang mudah; jawapan ada dalam foto yang sama. Kami tidak terkejut bahawa ia muncul dalam formula - lagipun, di mana terdapat bulatan, terdapat pi.
Saya menggunakan perkataan yang mungkin tidak dikenali:. Ini adalah nama nombor pi dalam budaya berbahasa Jerman, dan semua ini terima kasih kepada Belanda (sebenarnya orang Jerman yang tinggal di Belanda - kewarganegaraan tidak penting pada masa itu), Ludolf dari Seoulen... Pada tahun 1596 dia mengira 35 digit pengembangannya kepada perpuluhan. Rekod ini dipegang sehingga 1853, apabila William Rutherford dikira 440 kerusi. Pemegang rekod untuk pengiraan manual ialah (mungkin selamanya) William Shanksyang, selepas bertahun-tahun bekerja, diterbitkan (pada tahun 1873) lanjutan kepada 702 digit. Hanya pada tahun 1946, 180 digit terakhir didapati tidak betul, tetapi ia kekal begitu. 527 betul. Sangat menarik untuk mencari pepijat itu sendiri. Tidak lama selepas penerbitan keputusan Shanks, mereka mengesyaki bahawa "sesuatu yang tidak kena" - terdapat beberapa tujuh yang mencurigakan dalam pembangunan. Hipotesis yang belum terbukti (Disember 2020) menyatakan bahawa semua nombor harus muncul dengan frekuensi yang sama. Ini mendorong D.T. Ferguson untuk menyemak semula pengiraan Shanks dan mencari ralat "pembelajar"!
Kemudian, kalkulator dan komputer membantu orang ramai. Pemegang rekod semasa (Disember 2020) ialah Timothy Mullican (50 trilion tempat perpuluhan). Pengiraan mengambil masa ... 303 hari. Mari kita bermain: berapa banyak ruang yang diperlukan oleh nombor ini, dicetak dalam buku standard. Sehingga baru-baru ini, "sisi" teks yang dicetak ialah 1800 aksara (30 baris dengan 60 baris). Mari kita kurangkan bilangan aksara dan jidar halaman, menjejalkan 5000 aksara setiap halaman dan mencetak 50 buku halaman. Jadi XNUMX trilion watak akan mengambil sepuluh juta buku. Tidak teruk, bukan?
Persoalannya, apa guna perjuangan sebegitu? Dari sudut ekonomi semata-mata, mengapa pembayar cukai perlu membayar untuk "hiburan" ahli matematik sedemikian? Jawapannya tidak sukar. pertama, dari Seoulen mencipta tempat kosong untuk pengiraan, kemudian berguna untuk pengiraan logaritma. Jika dia diberitahu: tolong, bina tempat kosong, dia akan menjawab: kenapa? Begitu juga perintah:. Seperti yang anda ketahui, penemuan ini tidak sepenuhnya tidak disengajakan, tetapi bagaimanapun merupakan hasil sampingan penyelidikan daripada jenis yang berbeza.
Kedua, mari kita baca apa yang dia tulis Timothy Mullican. Berikut adalah pengeluaran semula permulaan karya beliau. Profesor Mullican berada dalam keselamatan siber, dan pi adalah hobi yang kecil sehingga dia baru sahaja menguji sistem keselamatan sibernya yang baharu.
Dan 3,14159 dalam kejuruteraan adalah lebih daripada mencukupi, itu perkara lain. Jom buat pengiraan mudah. Musytari berada 4,774 Tm dari Matahari (terameter = 1012 meter). Untuk mengira lilitan bulatan sedemikian dengan jejari sedemikian kepada ketepatan tidak masuk akal 1 milimeter, ia akan mencukupi untuk mengambil π = 3,1415926535897932.
Foto berikut menunjukkan suku bulatan bata Lego. Saya menggunakan 1774 pad dan ia adalah kira-kira 3,08 pi. Bukan yang terbaik, tetapi apa yang diharapkan? Bulatan tidak boleh terdiri daripada segi empat sama.
Tepat sekali. Nombor pi diketahui bulatan persegi - masalah matematik yang telah menunggu penyelesaiannya selama lebih daripada 2000 tahun - sejak zaman Yunani. Bolehkah anda menggunakan kompas dan garis lurus untuk membina segi empat sama yang luasnya sama dengan luas bulatan yang diberikan?
Istilah "persegi bulatan" telah memasuki bahasa pertuturan sebagai lambang sesuatu yang mustahil. Saya menekan kekunci untuk bertanya, adakah ini semacam percubaan untuk mengisi parit permusuhan yang memisahkan warga negara kita yang indah? Tetapi saya sudah mengelak topik ini, kerana saya mungkin hanya merasakan dalam matematik.
Dan sekali lagi perkara yang sama - penyelesaian kepada masalah mengkuadratkan bulatan tidak muncul sedemikian rupa sehingga pengarang penyelesaian, Charles Lindemann, pada tahun 1882 beliau telah ditubuhkan dan akhirnya berjaya. Sedikit sebanyak ya, tetapi ia adalah hasil daripada serangan dari hadapan yang luas. Ahli matematik telah mengetahui bahawa terdapat pelbagai jenis nombor. Bukan sahaja integer, rasional (iaitu pecahan) dan tidak rasional. Tidak terukur juga boleh menjadi lebih baik atau lebih teruk. Kita mungkin masih ingat dari sekolah bahawa nombor tak rasional ialah √2 - nombor yang menyatakan nisbah panjang pepenjuru segi empat sama kepada panjang sisinya. Seperti mana-mana nombor tidak rasional, ia mempunyai sambungan tidak tentu. Biar saya ingatkan anda bahawa pengembangan berkala ialah sifat nombor rasional, i.e. integer peribadi:
Di sini urutan nombor 142857 berulang selama-lamanya. Untuk √2 ini tidak akan berlaku - ini adalah sebahagian daripada ketidakrasionalan. Tetapi anda boleh:
(pecahan berterusan selama-lamanya). Kami melihat corak di sini, tetapi jenis yang berbeza. Pi tidak begitu biasa. Ia tidak boleh diperolehi dengan menyelesaikan persamaan algebra - iaitu persamaan yang tidak mempunyai punca kuasa dua, mahupun logaritma, mahupun fungsi trigonometri. Ini sudah menunjukkan bahawa ia tidak boleh dibina - melukis bulatan membawa kepada fungsi kuadratik, dan garis - garis lurus - kepada persamaan darjah pertama.
Mungkin saya menyimpang dari plot utama. Hanya perkembangan semua matematik yang memungkinkan untuk kembali kepada asal - kepada matematik kuno yang indah para pemikir yang mencipta untuk kita budaya pemikiran Eropah, yang sangat diragui hari ini oleh sesetengah orang.
Daripada banyak corak perwakilan, saya memilih dua. Yang pertama daripada mereka kita kaitkan dengan nama keluarga Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Tetapi dia dikenali (model, bukan Leibniz) oleh ulama Hindu zaman pertengahan Madhava dari Sangamagram (1350-1425). Pemindahan maklumat pada masa itu tidak hebat - sambungan Internet sering bermasalah, dan tiada bateri untuk telefon bimbit (kerana elektronik belum dicipta!). Formulanya cantik, tetapi tidak berguna untuk pengiraan. Daripada seratus bahan, "hanya" 3,15159 diperolehi.
dia lebih baik sedikit Formula Viète (yang daripada persamaan kuadratik) dan formulanya mudah diprogramkan kerana sebutan seterusnya dalam hasil darab ialah punca kuasa dua bagi tambah dua sebelumnya.
Kita tahu bahawa bulatan itu bulat. Kita boleh katakan bahawa ini adalah pusingan 100 peratus. Ahli matematik akan bertanya: bolehkah sesuatu itu bukan pusingan 1 peratus? Nampaknya, ini adalah oxymoron, frasa yang mengandungi percanggahan tersembunyi, seperti, sebagai contoh, ais panas. Tetapi mari kita cuba mengukur seberapa bulat bentuk itu. Ternyata ukuran yang baik diberikan oleh formula berikut, di mana S ialah luas dan L ialah lilitan rajah. Mari kita ketahui bahawa bulatan itu benar-benar bulat, bahawa sigma ialah 6. Luas bulatan ialah lilitan. Kami masukkan ... dan lihat apa yang betul. Berapa bulatkah segi empat sama? Pengiraannya semudah sahaja, saya tidak akan memberikannya. Ambil heksagon biasa yang tertulis dalam bulatan dengan jejari. Perimeternya jelas XNUMX.
tiang
Bagaimana pula dengan heksagon biasa? Lilitannya ialah 6 dan luasnya
Jadi kita ada
iaitu lebih kurang sama dengan 0,952. Heksagon adalah lebih daripada 95% "bulat".
Keputusan yang menarik diperoleh apabila mengira bulatan stadium sukan. Mengikut peraturan IAAF, lurus dan selekoh mestilah sepanjang 40 meter, walaupun sisihan dibenarkan. Saya masih ingat bahawa Stadium Bislet di Oslo adalah sempit dan panjang. Saya menulis "adalah" kerana saya juga berlari di atasnya (untuk seorang amatur!), Tetapi lebih daripada XNUMX tahun yang lalu. Mari lihat:
Jika lengkok itu mempunyai jejari 100 meter, jejari lengkok itu ialah meter. Keluasan rumput adalah meter persegi, dan kawasan di luarnya (di mana terdapat papan anjal) berjumlah meter persegi. Mari masukkan ini ke dalam formula:
Jadi adakah bulatan stadium sukan mempunyai kaitan dengan segi tiga sama? Kerana ketinggian segitiga sama sisi adalah sama bilangan kali sisi. Ia adalah kebetulan nombor rawak, tetapi ia bagus. Saya sukakannya. Dan para pembaca?
Baiklah ianya bulat, walaupun ada yang membantah kerana virus yang menyerang kita semua adalah bulat. Sekurang-kurangnya begitulah cara mereka melukisnya.
