Teka teka bola emas di tangan mana

Pada zaman pra-Covid (oh, bila itu?) Saya pernah diminta untuk menyertai "sekolah hijau". Di samping rehat yang sesuai, mesyuarat itu ditumpukan kepada matematik, iaitu sfera dan sifat-sifatnya. Topik ini selalunya ditinggalkan di sekolah kerana... baik, saya tidak tahu mengapa.

Selepas itu, pelajar geologi pun tidak tahu apa itu longitud (perkara sebenar berlaku kepada saya - saya memberi kuliah di jabatan universiti yang sesuai). Perjumpaan itu amat berjaya, tepukan gemuruh kepada pimpinan dan tiga guru yang menganjurkan semuanya. Pengajaran bukan sahaja tentang memindahkan pengetahuan dalam kenaikan 45 minit dari 8 pagi hingga XNUMX malam atau XNUMX malam. Nah, sekarang semuanya berbeza dengan pembelajaran jarak jauh. Semakin ramai guru membincangkan cara menukar sistem bilik darjah tradisional kepada ... jadi apa? Ingat bahawa kita sedang bereksperimen pada "organisma hidup" - kanak-kanak. Di manakah bola emas yang mengandungi kebijaksanaan hidup?

Saya sedang menyemak permohonan pelajar untuk mendapatkan biasiswa Dana Kanak-Kanak Kebangsaan untuk kanak-kanak yang sangat berbakat. Selalu ada banyak mesej daripada Leszno. Mereka berada pada tahun itu, tetapi setiap anak kedua (pelajar gred rendah) menulis: "Sejak guru saya, Puan I., pergi, saya telah hilang minat dalam matematik." Walau bagaimanapun, terdapat banyak permohonan daripada Lublin, yang setakat ini masih kurang dihantar. Teka-teki untuk pembaca: ke bandar manakah Puan I. dari Leshno berpindah? Ke Lublin? Ya, tetapi bagaimana anda membuatnya, pembaca?

Permukaan sfera ialah sfera (daripada sfera Latin 'bola, langit'). Istilah matematik ini telah memasuki bahasa sehari-hari: kita bercakap tentang sfera pengaruh kuasa besar, sfera minat seseorang dan sfera sosial. "Oh, dia bukan dari lingkungan kita," kata countess kepada gadis desa yang cantik ini yang telah jatuh cinta dengan tuan muda itu. Dan kemudian semua orang membayangkan masyarakat sebagai cengkerang sepusat, tidak dapat ditembusi antara satu sama lain: di satu pihak, kami berada dalam syarikat yang terbaik, tentu saja, di sisi lain, gadis malang ini dan juga geometri berkata "Cinderella: kekal di mana anda berada!".

Tidak sukar untuk terpesona dengan bentuk sfera. Ia cukup untuk berada di bawah langit terbuka pada waktu malam, jauh dari bandar, lebih baik di atas gunung yang tinggi pada musim sejuk. Mari lihat ke atas: tidakkah kita melihat sfera cakerawala dengan jelas? Bintang yang jauh menyertainya, dengan latar belakangnya, benda angkasa yang mengembara bergerak di sepanjang sfera yang lebih dekat: planet. Ptolemy mengajar bahawa Bumi adalah pusat alam semesta dan dikelilingi oleh sembilan sfera kristal sepusat.

Dalam tujuh yang pertama terdapat tujuh planet yang diketahui: Diana (= Bulan), Mercury, Venus, Apollo (= Matahari), Marikh, Musytari dan Zuhal. Sfera kelapan mengandungi bintang tetap. Pukul sembilan adalah seperti pemegang yang mengawal pergerakan jam: ekuinoks musim bunga bergerak di sepanjang mereka. Pada Zaman Pertengahan, sfera kesepuluh telah ditambahkan pada sistem ini: Penggerak Utama, seperti mata air, segala-galanya bergerak, daya penggerak, cangkang keras yang memisahkan dunia daripada ketiadaan. Pythagoreans percaya pada keharmonian sfera - bahawa planet-planet yang bergerak melalui sfera mereka mengeluarkan bunyi yang sangat menyenangkan. Lagipun, dunia adalah nombor dan muzik.

Dalam Olimpik Matematik untuk pelajar sekolah, yang kami anjurkan di sekolah hijau yang disebutkan di atas, persaingan adalah sengit dua pasukan. Nah, satu menang (33:31), satu lagi kalah. Seperti dalam sukan.

Algoritma untuk membahagikan pemula kepada dua pasukan sangat menarik dari sudut pandangan matematik yang saya akan membincangkannya secara terperinci. Masalahnya di sini, sudah tentu, kelayakan sama rata pasukan kuat dan lemah. Tetapi apa yang stabil? Nampaknya, pilihan terbaik adalah rawak: setiap pemain mengambil sekeping kertas dengan perkataan 1 atau 2 dari kotak dan pergi ke pasukan yang sesuai. Tetapi... jika anda menyelak duit syiling sebanyak 10 kali, hanya 25 peratus masa hasilnya ialah 5:5, iaitu lima kepala dan lima kepala. Jadi, kita melihat bahawa dengan kebarangkalian 75 peratus pasukan akan menjadi tidak sama rata.

Terdapat cara yang jelas tidak adil di mana dua orang dilantik sebelum ini kapten memilih ahli pasukan mereka satu demi satu: sekali awak, kemudian saya. Kapten pertama sentiasa mempunyai kelebihan, dia boleh memilih yang terbaik daripada yang lain. Begitu juga dalam bola sepak, pemenang perlawanan piala ditentukan dari titik penalti. Satu pasukan sentiasa menembak dahulu. Perkara lebih baik dalam tenis di mana pelayan sentiasa berada dalam kedudukan terbaik. Dalam permainan tie-break, selepas servis pertama A, servis kedua dua kali, kemudian A dua kali, dan kemudian dua servis, berselang seli B, A, ... untuk kelebihan dua mata kemenangan.

Kaedah ini juga tidak begitu sesuai untuk memilih dua pasukan pelajar. Kaedah yang akan saya huraikan telah dicipta oleh ahli matematik atas idea yang diambil daripada apa yang dipanggil algoritma Steinhaus. Ia biasanya digunakan dalam perlawanan matematik, seperti perlawanan awal pra-Olimpik. Menariknya, kami menggunakan sistem yang sangat serupa di halaman belakang rumah saya apabila kami ingin "bermain bola sepak" di dataran kosong di belakang rumah. Terdapat ramai kanak-kanak lelaki (saya berasal dari gelombang pertama ledakan bayi selepas perang).

Algoritmanya adalah seperti ini. Syiling menentukan siapa antara kapten (A atau B) akan dipilih dahulu. Biarkan A. Dia menunjuk kepada pemain, dan sekarang (perhatian!) Kapten B memutuskan sama ada pemain ini akan pergi ke pasukan pertama atau kedua. Dan seterusnya secara bergantian. Seorang memilih pemain, seorang lagi melantiknya. Yang kedua menunjukkan bahawa sorotan pertama.

Perhatikan kesukaran psikologi. Jika kapten A memilih yang terbaik, B akan serta-merta menambahnya ke dalam pasukannya. Jika dia menunjuk kepada yang paling lemah, B akan berkata: "sangat bagus, ambil dia" ... tetapi selepas beberapa ketika peranan akan diterbalikkan. Jadi bagaimana anda bermain?

Sejumlah kejuruteraan sosial dan psikologi sosial membantu di sini. Terutama apabila orang muda terlibat dalam pemilihan, suka dan tidak suka adalah sangat penting, dan bukan hanya "tahap" yang tidak pasti. Khususnya, selepas memilih mana-mana pemain sebagai kapten A, kapten B menilai sama ada rakan sepasukan tersebut (rakan yang ditunjukkan) secara subjektif berada di bahagian atas atau bawah peserta. Adakah saya mahu dia atau biarkan dia pergi ke A? Saya ada pilihan. Jika saya melihat ahli yang dinyatakan di bahagian atas, saya menerimanya, dan jika saya melihat ahli yang dinyatakan di bahagian bawah, saya meninggalkannya. Peranan sedang berubah, kini skor B dan A layak. Dia melakukan perkara yang sama. Jika dia menilai orang yang ditunjukkan dengan baik, kemudian dia mengambilnya secara peribadi, jika dia tersilap, dia pergi. Dengan cara ini, setiap kapten menjadi lebih baik (atau sekurang-kurangnya sama!) setiap kali. Semua orang berfikir bahawa dia membuat pilihan terbaik, bahawa pasukannya lebih baik. Matematik boleh menggembirakan orang walaupun dalam perkara yang rumit.

Dengan soalan sebegitulah peserta di sekolah hijau saya bertempur. Seperti yang anda lihat, terdapat beberapa soalan. bukan matematik, mencabar dan menyeronokkan.

1. Apakah loxodrome?
2. Anda mempunyai 20 bola. Berapakah ketinggian tetrahedron yang boleh terdiri daripadanya? Berapa banyak bola yang anda perlukan untuk tetrahedron 10 lapisan?
3. Saya meninggalkan khemah. Saya berjalan satu kilometer ke barat, kemudian satu kilometer ke utara, kemudian satu kilometer ke selatan. Ini adalah bagaimana saya berakhir di khemah saya. Seekor beruang duduk di hadapannya. Apakah warna itu?
4. Berapakah bilangan bola berdiameter 1 yang akan muat dalam bola berdiameter 2?
5. Susun daripada bola terkecil hingga terbesar yang digunakan dalam sukan berikut: tenis, pingpong, bola sepak, bola tampar, bola keranjang, polo air.
6. Bola yang manakah bukan sfera atau bujur (seperti dalam ragbi atau bola sepak Amerika)?
7. Menyenaraikan peribahasa dan pepatah berkaitan bola.
8. Buat jenaka yang bermula dengan perkataan "Peluru terbang ke doktor."
9. Sebuah sfera ditulis dalam kubus dengan sisi 1 meter. Adakah terdapat ruang yang mencukupi untuk bola 20 cm di sudut?
10. Bolehkah kubus dengan sisi 1 inci muat dalam sfera dengan jejari 1 sentimeter?
11. Seperti yang anda tahu, pada masa lalu, bola meriam sememangnya berbentuk sfera. Hari ini mereka tidak. Apa yang membuatkan anda menukar bentuk roket?
12. Isipadu sfera ialah p2 sentimeter padu. Kira luas permukaannya.
13. Ini adalah bulatan dengan jejari

    ia mungkin terletak pada sfera jejari
    
    

14. Bekas B mengandungi 100 bola putih, bekas C mengandungi 100 bola hitam. Kami memilih 10 bola secara rawak dari bekas B dan menjatuhkannya ke dalam C. Daripada 110 bola yang ada di C, kami memilih 10 bola secara rawak dan menjatuhkannya ke dalam B. Adakah terdapat lebih banyak bola hitam dalam B atau bola putih dalam C?
15. Apakah bentuk yang boleh menjadi bayang-bayang bola?
16. Garis selari di Bumi yang manakah separuh panjang khatulistiwa?
17. Planet T dilitupi sama rata dengan rumput. Pada satu ketika di planet ini, seekor kambing diikat. Berapa lama rantaian itu sepatutnya supaya kambing itu boleh mencapai separuh daripada rumput di planet ini?
18. Dalam puisi itu, Pan Tadeusz Stolnik ditembak. Senapang siapa yang terkena peluru?
19. Berapa banyak perkataan empat huruf (bermakna atau tidak) boleh dibentuk dengan menyusun semula huruf dalam perkataan KULA?
20. Adakah terdapat bola yang menyentuh semua tepi kubus? Jika ya, hitung jejarinya. Jika tidak, wajarkan.

Komen. Saya bercadang untuk mengetahui (dari Internet yang mana?) Apakah itu Loxodrome.

Tugasan 2 agak sukar. Dua puluh bola yang sama boleh dibuat menjadi tetrahedron 10 + 6 + 3 + 1 (sepuluh bola di bahagian bawah, kemudian enam, tiga dan satu). Blok sedemikian mempunyai empat lapisan, tetapi ia kurang daripada empat kali diameter setiap sfera - bola jatuh ke ceruk lantai bawah.

Saya akan membincangkan cabaran ini walaupun... Saya tidak akan membuat keputusan. Saya serahkan kepada pembaca yang sudi. Maksud saya, antara lain, kawan saya Kazimierz dari Szczecin. Kaziu - anda pasti akan menyukainya. Lagipun, kami mengaitkan tugas dengan sekolah. Ini adalah kumpulan yang kita lihat dalam foto. Oren ini sangat bagus... Mana-mana jurujual tahu bahawa lebih baik meletakkan epal, oren, limau dan buah-buahan keras lain seperti ini (tomato boleh hancur). Nah, hanya pada penghujung abad yang lalu masalah yang ditimbulkan oleh Johannes Kepler pada tahun 1610 diselesaikan, iaitu, bagaimana untuk menunjukkan secara matematik bahawa ini adalah cara terbaik. Lebih tepat lagi, sfera yang sama menduduki tempat terkecil di angkasa dengan susunan ini. Ini hanya di bawah 75 peratus. Ini adalah masalah matematik yang menarik kerana ia berlaku dalam ruang yang besar, tetapi itu sekali lagi menjadi topik untuk artikel lain. 

Sekolah yang saya pergi, agak lama dahulu, masih berumur sebelas tahun. Dalam gred kesepuluh terakhir, sepanjang tahun kebanyakannya geometri dan trigonometri. Saya masih ingat set masalah Henryk Paśniewski - apa yang tidak ada? Tetrahedra, prisma dan piramid dipotong dalam semua cara yang mungkin. Oh ya, tongkat adalah sedikit. Sebab susah, melukis pun bukan senang.

Sejak itu, trigonometri di sekolah telah sangat dipotong, merosot. Seperti mana-mana lelaki tua, saya cenderung untuk ingat bahawa segala-galanya "kemudian" adalah lebih baik. Ini, tentu saja, tidak benar. Tidak semua. Trigonometri tidak lagi begitu diperlukan dalam kerja harian seorang jurutera dan juruukur. Menara triangulasi kayu di puncak gunung tidak lagi diperlukan. Salah satu bangunan terbesar terletak di Lyuban di Jalan Kroshchenko. Dia juga mempunyai nama gunung "patria". Okay, cukuplah penyimpangan ini. Jom tengok gambar. Pertama, kita tentukan panjang segmen s. Ia adalah sudut 60 darjah. Dari AC kita dapati BC, kemudian ketinggian BH. Tetapi ini adalah ketinggian dinding sisi piramid oren kami. Dari sini, ketinggian piramid diperoleh dengan mendarabkan HV dengan sinus sudut kecondongan dinding ke pangkalan, yang ... juga perlu dikira, tetapi ini mudah dan standard.

Bolehkah saya mengatakan bahawa "masalah selesai". Malangnya, saya mengaitkan ini dengan pembelajaran jarak jauh yang semakin meluas. Saya duduk di hadapan skrin dan "bercakap dengan gambar", dan pelajar - kerana saya mengajar mereka - perlu bekerja mengikut arahan saya. Bagaimanapun, begitulah cara saya mempelajari Microsoft Teams, Inspery dan alat lain untuk mengendalikan kelas sedemikian. Pengajar berada di rumah, saya di rumah, semua orang sedang minum kopi mereka, dia "bercakap dengan gambar" dan saya cuba meniru.

→ Di sekolah tempat saya mengajar, mereka sudah tahu bahawa walaupun "kebiasaan kembali", kuliah akan diteruskan dengan semangat yang sama. Borang ini mempunyai banyak kelebihan. Ini adalah topik untuk artikel lain. Ini menjadikannya lebih baik untuk mereka yang…ingin belajar.

→ Malangnya, jumlah mereka tidak sebanyak yang kami fikirkan, para guru. Saya lewat menghantar artikel ini kepada editor, tetapi jika anda membaca ini, maka ia berakhir dengan baik. Iaitu, saya kecewa dengan gelagat pelajar baru yang terlalu banyak saya beri kebebasan semasa peperiksaan. Saya akan membuat kesimpulan dan kaedah "polis" akan kembali. Dan perasaan saya bermakna bahawa daripada menghabiskan teks, saya berjalan jauh melalui padang bersalji berhampiran Warsaw. Ia sejuk, saya sejuk...

→ Mari kita kembali ke pertandingan dengan bola. Soalan 6 boleh dijawab dengan gergaji besi atau bola pingpong yang dihancurkan. Jenaka terbaik (tugas 8) adalah yang mana peluru mengadu kepada doktor: "Saya tidak tahu apa yang salah dengan saya, tetapi saya benar-benar keliru." Terdapat juga satu yang baik, di mana peluru itu mengadu sakit berseri-seri dan diameternya pecah. Peribahasa yang dikaitkan dengan bola (tugasan 7) diletakkan dalam tajuk artikel, kita juga tahu apa itu bola di kaki (ini Bumi kan?). Tugas berwarna beruang mempunyai janggut yang panjang (sudah tentu, beruang itu berwarna putih, kerana laluan sedemikian hanya boleh dilakukan di kawasan kutub).

Bola meriam (masalah 11) tidak lagi berbentuk sfera kerana kita boleh membuat laras berulir, yang memberikan gerakan putaran peluru.

Soalan 13 ternyata menarik, kemudian saya berikan kepada pelajar. Mereka cuba membuat pengiraan yang tidak berapa masuk akal, mereka ngeri dengan elemen pada 17. Sedangkan tugas itu remeh. Sfera dengan jejari tertentu adalah kecil, manakala bulatan adalah besar. Ia tidak akan muat. Untuk soalan 18, jawapan yang betul ialah: seorang Muscovite yang senapangnya dirampas Jacek Soplica. Pelajar menjawab salah: Jacek.

Saya akan kembali ke sfera, kerana ia sangat menarik saya. Dan buktinya ialah "ode to the spherical" berikut.

Kulo! awak adalah saya! Besar atau kecil

Anda adalah sama pada akhirnya.

Saya mahu menyanyikan semua keindahan anda hari ini.

Saya boleh melakukan persamaan. Tetapi saya akan menulis ode!

Sejauh mana hargai, baru dia tahu

Siapa nampak awak. Tetapi kecantikan anda dalam semua hiasannya

Mereka yang belajar di sekolah hijau di Slavkov akan menghargainya!

Kecantikan anda terbentang dari tengah ke tepi!

Semua orang sama-sama tertarik dengan geometri anda.

Saya dari kanak-kanak kecil, dari kanak-kanak prasekolah,

Saya sentiasa mahu memahami kenapa awak jadi begini.

Betapa menyakitkan kata-kata bapa ini berbunyi:

"Anda akan tahu apabila anda dewasa. Hari ini anda terlalu kecil!

Semasa saya masih kecil dan kanak-kanak yang tidak bersalah

Empat pertiga ingin mengetahui rahsia anda

Dan betapa dalamnya hati itu

Apabila saya mahukan plaza empat tingkat rahsia anda.

Saya menelan banyak masa muda yang sekejap

Mengintegrasikan pusingan asas anda ke dalam pemikiran,

Dan apabila muka pemuda itu ditutupi dengan tunggul,

Saya melihat segitiga dengan tiga sudut tepat

Dia mempunyai. Dan dengan serta-merta saya dapat memahami betapa cantiknya dia.

Geometri permukaan adalah elips.

Dan bagaimana lelaki muda itu dipengaruhi oleh Oscom,

Apabila dia akhirnya menunjukkan kepada saya garis ketupatnya

Apakah setiap meridian?

Pada sudut pemotongan yang sama ... dan ia mengikutinya

Bahawa panjang lengkung itu berkembang hingga tak terhingga,

Dan bahawa kedua-dua kutub itu terjalin dengan cinta.

Kemudian, melihat tensor Riemann anda

Saya mengira kawasan sawah sehingga pagi

Dan pada permukaan anda dengan anggun dipanggil sfera,

Keluk utama tidak pernah pergi ke sifar.

Jadi tetap setia kepada saya, tidak tergoyahkan, homogen,

Sama comel dan kelakar dalam segala hal.

Sentiasa tinggalkan bahagian bulat sahaja!

Lebih daripada sekali hati saya akan merindui awak.

Biarkan orang muda sekarang, tidak tahu uban,

Mereka mengkaji lengkung anda, tidak diketahui oleh Gauss.